ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Выполнила: магистрант 2

ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Выполнила: магистрант 2 года обучения Заикина Наталья

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Один из простейших критериев существования и единственности неподвижной точки – принцип сжимающих отображений.

Пусть R – метрическое пространство. Отображение А пространства R в себя называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое число α<1, что для любых точек x, y R выполняется неравенство Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если Ах = х. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ах = х.

Простейшие применения принципа сжимающих отображений 1. Решение уравнений (1) x 0=0 является решением уравнения (1). Запишем его в виде (2) Рассмотрим функцию (3)

Так, Докажем, что отображение f(x) является сжимающим и поэтому имеет единственную неподвижную точку. Для произвольных x 1, x 2 R по теореме Лагранжа имеем: (4) Оценим Т. е.

(4) Из равенства (4) получаем Из (5) следует, что отображение является сжимающим, поэтому уравнения Имеют единственное решение х0=0

Принцип сжимающих отображений можно применять к доказательству теорем существования и единственности решений для уравнений различных типов. Помимо доказательства существования и единственности решения уравнения Ах = х. Рассмотрим другие примеры: Пусть f – функция, которая определена на сегменте [a, b], удовлетворяющих условию Липшица С константой К>1 и отображает сегмент [a, b] в себя.

Тогда f есть сжимающее отображение и, последовательность x 0, x 1=f(x 0), x 2=f(x 1), . . . Сходится к единственному корню уравнения х = f(x). В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция имеет на сегменте [a, b] производную f`(x), причем На рис. 1 и 2 изображен ход последовательных приближений в случае 0

Пусть теперь мы имеем дело с уравнением вида F(x)=0, причем F(a)<0, F(b)>0 и на [a, b]. Введем функцию f(x) = x – λF(x) и будем искать решение уравнения x = f(x), равносильного уравнению F(x) = 0 при λ≠ 0. так как f`(x) = 1 – λF`(x), то 1 - λК 2≤f`(x)≤ 1 – λК 1 и не трудно подобрать число λ так, чтобы можно было действовать методом последовательных предложений. Это распространенный метод отыскания корня.

2. Дифференциальные уравнения а) Задача Коши Пусть дано дифференциальное уравнение: (1) С начальным условием y(x 0) = y 0, причем функция f определена и непрерывна в некоторой плоской области G, содержащей точку (x 0, y 0 ), и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у:

Докажем, что тогда в некотором сегменте Существует и при том только одно, решение y = φ(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию. Уравнение вместе с начальным условием эквивалентно интегральному уравнению В силу непрерывности функции f имеем │f(x, y)│≤K в некоторой области G`0 так, чтобы выполнялись условия: 1 2. Md<1

Обозначим через С* пространство непрерывных функций φ, определенных на сегменте И таких, что С метрикой Пространство С* полно, так как оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на [x 0 – d, x 0 + d]. Рассмотрим отображение ψ = Аφ, определяемое формулой Где

Это отображение переводит полное пространство С* в себя и является в нем сжатием. Действительно, пусть φ С*, Тогда И, следовательно, А(С*)

Б) Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, где К – ядро, f – искомая функция, λ – произвольный параметр. В) Уравнение Вольтерра (верхний предел переменная величина)

Спасибо за внимание!