Примітивно-рекурсивні рекурсивно-перелічні множини Множина M Nn рекурсивна РМ

Примітивно-рекурсивні, рекурсивно-перелічні множини Множина M Nn рекурсивна (РМ): характеристична функція M рекурсивна. Множина M Nn примітивно-рекурсивна (ПРМ): M примітивно-рекурсивна. Кожна ПРМ є рекурсивною множиною. Множина M N рекурсивно-перелічна (РПМ), якщо M = або M = Ef для деякої РФ f. Множина M Nn н РПМ, якщо M = або існують 1 -арні РФ g 1, . . . , gn такі, що M = {(g 1(x), . . . , gn(x)) | x N }. Наслідки тези Чорча: – клас РМ збігається з класом алгоритмічно розв’язних множин на N – клас РПМ збігається з класом алгоритмічно перелічних множин на N 1

Для L Nn визначимо множину-згортку: Cn(L) = {Cn(x 1, . . . , xn) | (x 1, . . . , xn) L}. Нехай L Nn та M Nn. Cn(L M) = Cn(L) Cn(M), Cn(NnL) = NCn(L). Теорема 1. L Nn є РМ (ПРМ, РПМ) Cn(L) є РМ (ПРМ, РПМ). Нехай L N є РМ L(x 1, . . . , xn) є Р . = L(Cn 1(x), . . . , Cnn(x)) Нехай Cn(L) є РМ є РФ L(x 1, . . . , xn) = Нехай L Nn є РПМ L = {(g 1(x), . . . , gn(x)) | x N} для РФ g 1, . . . , gn. Cn(g 1(x), . . . , gn(x)) є РФ Cn(L) = {Cn(g 1(x), . . . , gn(x)) | x N } є РПМ Нехай Cn(L) є РПМ Cn(L) = {g(x) | x N } для деякої РФ g. Cn 1(g(x)), . . . , Cnn(g(x)) РФ L = {(Cn 1(g(x)), . . . , Cnn(g(x))) | x N } є РПМ. 2

Теорема 2. 1) кожна скінченна множина є ПРМ; 2) кожна рекурсивна множина є РПМ; 3) клас ПРМ строго включається в клас РМ. 1) Нехай L = {a 1, . . . , an}. Тоді 2) Нехай L N є РМ. Якщо L = , то L є РПМ. L зафіксуємо b L. L є РФ f(x) = x L(x) + b nsg( L(x)) є РФ, L = Ef. Отже, L є РПМ. 3) Нехай u(t, x) –універсальна РФ для ПРФ 1. Тоді f(x) = nsg(u(x, x)) – х. ф. деякої РМ L. f(x) є ПРФ за універсальністю u(t, x) k N: f(x) u(k, x) f(k) = u(k, k) = nsg(u(k, k)) – суперечність f(x) не ПРФ L не ПРМ Теорема 3. Класи ПРМ та РМ замкнені відносно , , доповнення Нехай A та B є РФ (ПРФ). A(x) = nsg( A(x)) A B(x) = sg( A(x)+ B(x)) A B(x) = A(x) B(x) 3

Теорема 4. L є нескінченна РМ L = Ef для деякої строго РФ f. Для строго функцій f(x) x x Df f є РФ Ef є РМ. Нехай L – нескінченнa РМ. Задамо f схемою примітивної рекурсії f(0) = k( L(k)=1); f(x + 1) = k( L(k)=1 та k>f(x)). За побудовою L = Ef; f строго , тотальна (L нескінченнa), РФ Теорема 5. L – нескінченна РПМ існує нескінченна РМ M L L – нескінченна РПМ L = Eg для деякої РФ g. Задамо f f(0) = g(0); f(x+1) = g( k(g(k)>f(x)). За побудовою f строго , тотальна (Eg нескінченнa), РФ. За теоремою 4 Ef – некінченна РМ, Ef Eg = L Ef – шукана M. 4

Теорема 6. L – нескінченна РПМ існує ін’єктивна РФ f: L = Ef. Маємо L = Eg для деякої РФ g. Функцію f задамо схемою примітивної рекурсії f(0) = g(0); f(x+1) = g( k (g(k) f(0), . . . , g(k) f(x))) За нескінченністю Eg РФ f ін’єктивна й тотальна, Ef = Eg = L. 5

Теорема 7. Існує РФ : x N E (x) = Dx та (x) є РФ при Dx . Зафіксуємо x N. Задамо ефективний процес поетапного породження Dx, формуючи список елементів Dx з повторами. Крок обчислення – виконання однієї команди МНР-програми (МТ) Етап 1. 1 -й крок обчислення x(0); якщо x(0) обчислене, то 0 до списку Етап n+1. Робимо по n+1 кроків обчислення для x(0), x(1), . . . , x(n); усі k n, для яких x(k) обчислене, – до списку. Задамо f(x, y) так. фіксованого x N f(x, 0) є 1 -м елементом списку; За ТЧ f є ЧРФ за s-m-n РФ (x): x, y f(x, y) = (x)(y) За побудовою E (x) = Dx. Dx = (x) = f. Dx f(x, y) y N (x) тотальна (x) є РФ. 6

Теорема 8. Існують РФ s та t: x N маємо Es(x) = Dx та Dt(x) = Ex. За s-m-n-теоремою РФ t(x): x, y f(x, y) = t(x)(y). y Ex f(x, y) t(x)(y) y Dt(x). Звідси Dt(x) = Ex. За s-m-n-теоремою РФ s(x): x, y g(x, y) = s(x)(y). За побудовою Es(x) = Ds(x). y Dx f(x, у) s(x)(y) y Ds(x) y Es(x). Звідси Dx = Es(x) Теорема 9. Існує РФ : x N E (x) = Еx та (x) є РФ при Еx . Для функцій , t з теорем 7 та 8 маємо: x N Dt(x) = Ex; E (x) = Dx та (x) є РФ при Dx . Тоді x N E (t(x)) = Dt(x) = Ex та (t(x)) є РФ при Dt(x) = Ex . РФ (x) = (t(x)) – шукана. 7

Теорема 10. Такі визначення РПМ еквівалентні: df 1) L = або L є областю значень деякої РФ; df 2) L є областю значень деякої ЧРФ; df 3) L є областю визначення деякої ЧРФ; df 4) часткова характеристична функція L є ЧРФ. df 1 df 2 та df 4 df 3 є очевидними. df 3 df 1. Нехай L = DЧРФ, x – індекс такої ЧРФ, тобто L = Dx. Для РФ (x) з теореми 7 E (x) = Dx, причому (x) є РФ при Dx . Отже, або Dx = , або Dx = E (x) та (x) є РФ. Аналогічно (викор. теорему 9) df 2 df 1. df 2 df 3 випливає з теореми 8. df 3 df 4. Нехай L = Df для деякої ЧРФ f. Тоді ч. L(x) = s(o(f(x))). Rm. df 3 та df 4 можна використовувати для РПМ, заданих на Nn. 8

Стандартна нумерація РПМ Ефективну нумерацію РПМ вводимо згідно df 3 Номером РПМ L Nn є номер n-арної ЧРФ f: L = Df. РПМ L Nn із номером (індексом) m позначаємо Dmn для n=1 позначаємо Dm {L Nn | L є РПМ} позначаємо РПМn. Аналогічно – позначення РМn та ПРМn. Теорема 11. Клас РПМ замкнений відносно та . Нехай f та g – РФ: A = Ef та B = Eg. Задамо h(2 x) = f(x), h(2 x+1) = g(x). Тоді h є РФ, Eh = Ef Eg = A B – РПМ. ч. A B(x) = ч. A(x) ч. B(x) – ЧРФ зa df 4 A B є РПМ. 9

Теорема 12 (узагальнена Поста). A, B – РПМ, A B = , A B – РМ A, B – РМ. Нехай A , B . Нехай f, g – такі РФ: A = Ef та B = Eg. Укажемо алгоритм , який за b N визначає, b A чи b A. Задамо h(2 x) = f(x), h(2 x+1) = g(x). Тоді h є РФ, Eh = Ef Eg = A B. Множина A B рекурсивна, тому алгоритмічно розв’язна. Якщо b A B, то b A. Якщо b A B, то обчислюємо h(0), h(1), . . . Маємо Eh = A B b = h(n) для деякого n. n парне b = h(n) = f(n/2) b A. n непарне b = h(n) = g((n– 1)/2) b B b A за A B = A алгоритмічно розв’язна за ТЧ A є РМ. Аналогічно B є РМ Наслідок (теорема Поста). L та L – РПМ L та L – РМ 10

Теорема 13 (принцип редукції). РПМ A та B РПМ L та M такі: L A, M B, L M = A B. Вважаємо A , B , A B (інакше твердження тривіальне). Візьмемо a A та b B такі, що a b. Нехай f та g – такі РФ: A = Ef та B = Eg. Задамо функції u та v: За ТЧ u та v є РФ. L = Eu та M = Ev задовольняють умову теореми 11

Для L N введемо позначення L 2 x ={2 x | x L} та L 2 х+1 = {2 x+1 | x L}. Для множин на N визначимо операції сполучення та добутку : A B = {2 x|x A} {2 x+1|x B} = Ax B 2 x+1; A B = {C(x, y)| x A, y B}. Теорема 14 1) A та B є РМ /РПМ A B є РМ /РПМ. 2) Якщо A , B , то A та B є РМ /РПМ A B є РМ /РПМ. Доведемо для РПМ. Для РМ замість ч. х. ф. беремо х. ф. 1) x A B (x парне та x/2 A) або (x непарне та (x– 1)/2 B). A, B є РПМ за ТЧ ч. A B є ЧРФ A B є РПМ. x A 2 x A B та x B 2 x+1 A B. ч. A(x) = ч. A B(2 x), ч. B(x) = ч. A B(2 x+1). Тому A B РПМ A, B РПМ. 2) x A B l(x) A та r(x) B, звідки ч. A B(x) = ч. A(l(x)) ч. B(x). Зафікс. a A, b B. Тоді x A C(x, b) A B та x B C(a, x) A B. Тому ч. A(x) = ч. A B(C(x, b)) та ч. B(x) = ч. A B(C(a, x)). 12

Примітивно-рекурсивні, частково рекурсивні предикати n-арний предикат P на N рекурсивний, якщо P є РФ n-арний предикат P на N примітивно-рекурсивнй, якщо P є ПРФ n-арний предикат P на N частково рекурсивний, якщо ч. P є ЧРФ. Теорема 1. 1) P є ЧРП (РП, ПРП) TP є РПМ (РM, ПРМ); 2) класи ПРП та РП замкнені відносно , & та ; 3) клас ЧРП замкнений відносно та &; 4) клас ПРП строго включається в клас РП; 5) кожний РП є ЧРП; 6) якщо P та P – ЧРП, то P та P – РП. Тв. 1) випливає з визначень. TP Q = TP TQ, TP&Q = TP TQ, T P = TP З урахув. 1) тв. 2)– 6) випливають з відп. теорем для РМ, РПМ. Наслідки ТЧ: – клас РП збігається з класом алгоритмічно розв’язних предикатів на N – клас ЧРП збігається з класом позитивно розв’язних предикатів на N 13

Теорема 2. Q(x 1, . . . , xn) є ЧРП існує РП R(x 1, . . . , xn, y) такий: Q(x 1, . . . , xn) y. R(x 1, . . . , xn, y). Нехай Q – ЧРП, нехай ч. Q обчислюється МНР-програмою P. Маємо Q(x 1, . . . , xn) y(P(x 1, . . . , xn) за k кроків) "P(x 1, . . . , xn) за k кроків" позначимо R(x 1, …, xn, y). За ТЧ R є РП Нехай R(x 1, . . . , xn, y) – РП, нехай Q(x 1, . . . , xn) y. R(x 1, . . . , xn, y). Тоді Q(x 1, . . . , xn) R(x 1, . . . , xn, y) = 1. f(x 1, . . . , xn) = s(o( y(nsg( R(x 1, . . . , xn, y)) = 0)) – ч. х. ф. y. R(x 1, . . . , xn, y). Маємо f = ч. Q, R є РФ f є ЧРФ Q є ЧРП 14

Теорема 3. Нехай Q(x 1, . . . , xn, y) є ЧРП. Тоді y. Q(x 1, . . . , xn, y) теж ЧРП. Q(x 1, . . . , xn, y) є ЧРП (теорема 2) існує РП R(x 1, . . . , xn, y, z): Q(x 1, . . . , xn, y) z. R(x 1, . . . , xn, y, z). Поклавши u = C(y, z), звідси y. Q(x 1, . . . , xn, y) y z. R(x 1, . . . , xn, y, z) u. R(x 1, . . . , xn, l(u), r(u)). l та r є ПРФ, R(x 1, . . . , xn, y, z) є РП R(x 1, . . . , xn, l(u), r(u)) є РП. Тоді u. R(x 1, . . . , xn, l(u), r(u)), а з ним і y. Q(x 1, . . . , xn, y), є ЧРП за теоремою 2 Наслідок. Якщо Q(x 1, . . . , xn, y) є ЧРП, то y 1. . . yk. Q(x 1, . . . , xn, y 1, . . . , уk) теж ЧРП. 15

Приклад 1. Предикат "y Ex" є ЧРП. y Ex z k(Px(z) y за k кроків). В дужках – РП, тому за теоремою 2 "y Ex" є ЧРП Приклад 2. Предикат "Dx " є ЧРП. Dx z k(Px(z) за k кроків). В дужках – РП, тому за теоремою 2 "Dx " є ЧРП Приклад 3. Предикат "{x, y} Dz" є ЧРП. {x, y} Dz x Dz & y Dz k(Pz(x) y за k кроків) & k(Pz(y) y за k кроків). В дужках РП, тому "{x, y} Dz" є ЧРП. Приклад 4. Предикат " x неін'єктивна" є ЧРП. x неін'єктивна a b c (a b & x(a) = c & x(b) = c) a b c k l (a b &(Px(a) c за k кр. ) & (Px(b) c за l кр. )). 16

Нормальна форма Кліні Теорема 5 (Кліні про нормальну форму). Для кожної n-арної ЧРФ f існує (n+1)-арна РФ g: x 1, . . . , xn N f(x 1, . . . , xn) = l( t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0)). Подання l( t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0)) – нормальна форма функції f(x 1, . . . , xn). За теоремою 4 "y = f(x 1, . . . , xn)" є ЧРП, тому для деякого РП R y = f(x 1, . . . , xn) z. R(x 1, . . . , xn, y, z). Покладемо g(x 1, . . . , xn, t) = nsg( R(x 1, . . . , xn, l(t), r(t))). Повторюючи доведення теореми 4, маємо y = f(x 1, . . . , xn) y = l( t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0)). Отже, f(x 1, . . . , xn) = l( t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0)) Функцію g можна брати з класу ПРФ (посилений варіант теореми 5) У цьому випадку теорема Кліні про НФ засвідчує, що кожну ЧРФ можна отримати з деякої ПРФ не більше ніж одним застосуванням операції мінімізації, причому певним стандартним чином. 18

Алгоритмічна нерозв’язність проблем зупинки та самозастосовності Масова проблема (алгоритмічно) розв’язна, якщо відповідний предикат рекурсивний, інакше проблема нерозв’язна Масова проблема частково розв’язна (напіврозв’язна, позитивно розв’язна) якщо відповідний предикат є ЧРП "x є квадратом натурального числа" "P(x 1, . . . , xn) за k кроків" – алгоритмічно розв’язні. Проблема зупинки: за x та y встановити, x(y) чи x(y). Проблема самозастосовності: за x встановити, x(x) чи x(x). Неформально: установити за x, чи зупиниться МНР-програма з кодом x при роботі над власним кодом. " x(y) визначене" позначимо Q(x, y). " x(x) визначене" позначимо S(x) Q(x, x) 19

Теорема 1. Проблема самозастосовності алгоритмічно нерозв’язна. Припустимо супротивне: предикат S(x) рекурсивний. Тоді Нехай n – індекс f в нумерації ЧРФ 1, тобто f(x) n(x). Тоді Наслідок. Проблема зупинки алгоритмічно нерозв’язна. Супротивне Q(x, y) є РП S(x) є РП – суперечність теоремі 1. 20

Теорема 2. Проблеми зупинки та самозастосовності напіврозв’язні. Алгоритм обчислення ч. Q: за x – Px і обчислюємо Px(y) видає 1 як результат Px(y) ніколи не видасть результату ч. Q(x, y) За ТЧ ч. Q є ЧРФ Q є ЧРП. Але ч. S(x) = ч. Q(x, х) S теж ЧРП. Теорема 3. D = {x | x(x) визначене} – нерекурсивна РПМ. D = S – не РФ за теоремою 1. D – область визначення ЧРФ u(x) = x(x), тому D є РПМ. Наслідок 1. Множина D = {x | x(x) невизначене} не є РПМ. Супротивне: D є РПМ за теор. Поста D є РМ – суп-ть Наслідок 2. Предикат S(x) не є ЧРП Наслідок 3. Клас РПМ незамкнений відносно доповнення Наслідок 4. Клас ЧРП незамкнений відносно та x 21

Теорема 4. ПРФ ЧРФ Ск. М ПРМ РПМ ПРП ЧРП g – розширення функції f, якщо Df Dg та x Df f(x) = g(x) тоді f – звуження функції g. Позначення: f g Тотальне розширення функції – довизначення цієї функції. Теорема 5. Функція x(x) не має рекурсивних довизначень. Супротивне: x(x) має рек. довизначення f(x) nsg( x(x)) має рек. довизначення g(x). Нехай k – індекс g в нумерації ЧРФ 1, тобто g = k g є РФ k(k) = g(k) nsg( k(k)) Маємо nsg( k(k)) = g(k) = k(k) – суперечність. 22

Операція мінімізації у істотно відрізняється від неконструктивної операції miny для знаходження найменшого y, яке задовольняє певну умову. f(x 1, . . . , xn) виникає з g(x 1, . . . , xn, y) за допомогою операції mіny, якщо: Теорема 6. Існує ЧРФ h така, що f(x) = miny(h(x, y) = 0) не є ЧРФ. f(x) = miny (h(x, y) = 0) тотальна: x N f(x) = 1 або f(x) = 0. x D h(x, 0) = 0 f(x) = 0. x D h(x, 0) , але h(x, 1) = 1 f(x) = 1. Отже, f(x) = nsg D(x)) f не є РФ і не є ЧРФ. 23

Співвідношення між класами функцій та їх графіків Теорема 1. 1) Якщо функція f є ПРФ /РФ, то f є ПРМ /РМ. 2) Існують нерекурсивні ЧРФ зі скінченним графіком. 3) Існує РФ f така, що f не є ПРМ. Для 1): f (x 1, . . . , xn, y) = nsg(|y – f(x 1, . . . , xn)|) Для 2): скінченні функції не є РФ. Для 3): f(x) = nsg(u(x, x)), де u(t, x) – універсальна РФ для ПРФ 1. f (x, y) = nsg(|y–f(x)|) є ПРФ f (x, 1) = nsg(|1–nsg(u(x, x))|) = nsg(u(x, x)) = f(x) теж ПРФ. Однак u(t, x) не є ПРФ тому f не ПРФ f не є ПРМ. Теорема 2 (про графік). Функція f(x 1, . . . , xn) є ЧРФ f є РПМ. f = {(x 1, . . . , xn, y) | (x 1, . . . , xn) Df та y = f(x 1, . . . , xn)} – область істинності предиката "y = f(x 1, . . . , xn)". Q є ЧРП TQ є РПМ f є РПМ. 24

Теорема 3 (Сколем). f є РМ/ПРМ існує РФ/ПРФ g така: x 1, . . . , xn N маємо f(x 1, . . . , xn) = t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0). Наслідок 1. Існують РФ f, які не можна подати у вигляді f(x 1, . . . , xn) = t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0) для деякої ПРФ g. Візьмемо РФ f таку, що f не є ПРМ. Наслідок 2. Існують РФ h такі, які не є ПРФ, але h є ПРМ. f(x) = nsg(u(x, x)), де u(t, x) – універс. РФ для ПРФ 1, не є ПРФ. За теоремою Кліні про НФ в посиленій формі існує ПРФ g така: f(x) = l( t(g(x, t) = 0)). h(x) = t(g(x, t) = 0) за теоремою Сколема має h ПРМ. h є ПРФ f(x) = l(h(x)) теж ПРФ – суперечність, тому h не є ПРФ. 25

Теорема 4. Існують ЧРФ із нерекурсивним графіком. Такими є, зокрема, ч. L для нерекурсивних РПМ L. ч. L = {(x, 1) | x L} рекурсивна за ТЧ рекурсивна – суперечність Наслідок. Існують ЧРФ f такі, які не можна подати у вигляді f(x 1, . . . , xn) = t(g(x 1, . . . , xn, t) = 0) для деякої РФ g. Візьмемо функцію ч. L для нерекурсивної РПМ L. Тоді її графік нерекурсивний, і за теоремою Сколема таке подання неможливе. Зауваження. Теорема Сколема дає вичерпну відповідь на питання, наскільки необхідна зовнішня функція l у поданні ЧРФ f у НФ Кліні. 26

Індексні множини Теореми Райса та Райса – Шапіро Введення ефективних нумерацій ЧРФ ставить питання, які саме властивості ЧРФ можна (частково) розпізнати за номерами функцій, тобто чи будуть множини номерів відповідних класів ЧРФ РМ (РПМ). : N→ – ефективна нумерація . Для визначимо множину номерів усіх об’єктів з : N( ) = – 1( ). Множини вигляду N( ), де ЧРФn – індексні. 27

Теорема 1 (Райс). Нехай ЧРФn та . Тоді N( ) нерекурсивна Вважаємо f . Зафіксуємо довільну g . Задамо За s-m-n існує РФ s: z, x 1, . . . , xn f(z, x 1, . . . , xn) = ns(x)(x 1, . . . , xn). z D ns(x)(x 1, . . . , xn) = f(z, x 1, . . . , xn) = g(x 1, . . . , xn) ns(x) = g. Отже, ns(x) s(z) N( ). z D ns(x)(x 1, . . . , xn) = f(z, x 1, . . . , xn) ns(x) = f. Отже, ns(x) s(z) N( ). Маємо z D s(z) N( ). Звідси D(z) = N( )(s(z)). N( ) є РМ N( ) є РФ N( )(s(z)) є РФ (s є РФ) D(z) є РФ. Це суперечить нерекурсивності D N( ) нерекурсивна. Наслідок. Нехай РПМ та . Тоді N( ) не є РМ. Теорема Райса стверджує: жодна нетривіальна властивість у класах усіх n-арних ЧРФ та всіх РПМ не може бути ефективно розпізнана! 28

Теорема 2 (дуальна). Нехай ЧРФn та f . Тоді N( ) не є РПМ. Зафіксуємо довільну g . Задамо функцію f: За s-m-n існує РФ s: z, x 1, . . . , xn f(z, x 1, . . . , xn) = ns(x)(x 1, . . . , xn). z D ns(x)(x 1, . . . , xn) = f(z, x 1, . . . , xn) = g(x 1, . . . , xn) ns(x) = g. Отже, ns(x) s(z) N( ). z D ns(x)(x 1, . . . , xn) = f(z, x 1, . . . , xn) ns(x) = f. Отже, ns(x) s(z) N( ). Маємо z D s(z) N( ). Звідси ч D(z) = ч. N( )(s(z)) N( ) є РПМ ч. N( ) є ЧРФ ч. N( )(s(z)) є ЧРФ ч D(z) є ЧРФ. Але D не є РПМ – суперечність. Отже, N( ) не є РПМ. 29

Наслідок. Множини {x | Dx є РМ} та {x | Dx скінченна} не є РПМ. скінченна та РМ f { x | Dx скінченна} та f { x | Dx є РМ} Теорема 3. Не існує ЧРФ f такої, що x N Якщо така ЧРФ f існує, то Dx є РМ f(x) Тоді Df = {x | Dx є РМ} Df не є РПМ – суперечність. Отже, в загальному випадку за індексом x РМ Dx неможливо ефективно знайти індекс Dx, якщо вона РМ. 30

Канонічна нумерація скінченних множин на N Нехай L = {x 1, . . . , xn}, де x 1<. . .

Теорема 4. 1) Існує РФ g така: x N Fx = Dg(x) 2) Не існує ЧРФ f такої, що x N Доводимо 1). "y Fx" є РП рекурсивний, тому За s-m-n існує РФ g: x, y N h(x, y) = g(x)(y) Fx = Dg(x). Доводимо 2). Якщо така ЧРФ f існує, то Dx скінченна f(x) Звідси Df = {x | Dx скінченна}, але Df не є РПМ f не є ЧРФ. 32

Сформулюємо критерій належності функції до конструктивної (РПМ) індексної множини. Виявляється, що для цього достатньо скінченної інформації про функцію. Теорема 5 (Райса – Шапіро). Нехай ЧРФn така, що N( ) є РПМ. Тоді для довільної f ЧРФn маємо: f скінченна : f та . Випадок f = f тривіальний, тому розглядаємо випадок f f. Зауважимо, що при f N( ) є РПМ = ЧРФn. 33

Доводимо . Припустимо супротивне: f , але не існує скінченної : f та . Нехай P – МНР-програма така, що P(z) z D. За ТЧ така g є ЧРФ. За s-m-n існує РФ s така: z, x 1, . . . , xn g(z, x 1, . . . , xn) = ns(z)(x 1, . . . , xn) z D P(z) t : P(z) за t кроків k t P(z) за k кроків ns(z)(x 1, . . . , xn) x 1, . . . , xn таких: Cn(x 1, . . . , xn) t ns(z) скінч. ( z ns(z) f ) за припущенням ns(z) N( ). z D P(z) x 1, . . . , xn P(z) не зупиниться за Cn(x 1, . . . , xn) кроків ns(z) – це f за припущенням ns(z) N( ). Маємо z D s(z) N( ). Звідси ч D(z) = ч. N( )(s(z)) N( ) є РПМ ч. N( ) є ЧРФ ч. N( )(s(z)) є ЧРФ ч D(z) є ЧРФ. Але D не є РПМ – маємо суперечність. 34

Доводимо . Припустимо супротивне: маємо ЧРФ f таку, що f та існує скінченна f: . За ТЧ h є ЧРФ. За s-m-n існує РФ s така: z, x 1, . . . , xn h(z, x 1, . . . , xn) = ns(z) (x 1, . . . , xn) z D ns(z)– це функція f за припущенням ns(z) N( ). z D при (x 1, . . . , xn) D ns(z)(x 1, . . . , xn) = f(x 1, . . . , xn) та при (x 1, . . . , xn) D ns(z)(x 1, . . . , xn) ns(z) – це за припущенням ns(z) N( ). Маємо z D s(z) N( ). Знову суперечність. 35

Приклад 1. Множина {x | Dx } – нерекурсивна РПМ. Dx y k(Px(y) за k кроків), "Px(y) за k кроків" є РП "Dx " є ЧРП {x | Dx } є РПМ (Rice) {x | Dx } не є РМ. Приклад 2. Множина {x | x є РФ} не є РПМ. {x | x є РФ} є РПМ (Rice-Sh) РФ x скінченна така, що x та { x | x є РФ}. Але скінченні функції не можуть бути РФ. Приклад 3. Множина {x | Dx нескінченна} не є РПМ. {x | Dx нескінченна} є РПМ (Rice-Sh) нескінченної x скінченна така, що x та { x | Dx нескінченна}. Але тоді нескінченна ! 36