Примеры использования уравнения Бернулли в технике Полученное ранее уравнение Бернулли является основным законом установившегося движения жидкости. Это уравнение позволяет рассмотреть и понять работу ряда устройств, действие которых основано на использовании этого важнейшего закона. Рассмотрим эти устройства.
1. Дроссельный расходомер Дроссельный расходомер, или расходомер Вентури, представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока — дросселирование. Расходомер состоит из двух участков — плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. Возникает разность (перепад) давлений, которая измеряется парой пьезометров или дифференциальным U образным манометром и которая определенным образом связана с расходом. Найдем эту связь. Допустим в сечении 1— 1 потока непосредственно перед сужением скорость υ1, давление р1, площадь сечения S 1, а в сечении 2 — 2, т. е. в самом узком месте потока, соответственно υ2, p 2 и S 2. Разность показаний пьезометров, присоединенных к указанным сечениям, пусть будет ΔН.
Запишем для сечений 1— 1 и 2 — 2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода (считая распределение скоростей равномерным): где hм — потеря напора между сечениями 1— 1 и 2 — 2. Учитывая, что найдем из этой системы уравнений одну из скоростей, например, υ2: Отсюда объемный расход будет равен (1. 32)
или (1. 33) где С — величина, постоянная для данного расходомера и равная Зная эту величину С и наблюдая за показаниями пьезометров, можно определить расход в трубопроводе для любого момента времени по формуле (1. 33). Константу С можно подсчитать теоретически, но точнее она находится из эксперимента, т. е. в результате тарировки расходомера. Связь между ΔН и Q получается параболической, а если по оси абсцисс откладывать квадрат расхода, то график этой зависимости будет представлять собой прямую.
2. Карбюратор поршневых двигателей внутреннего сгорания служит для осуществления подсоса бензина и смешения его с потоком воздуха. Поток воздуха, засасываемого в двигатель, сужается как раз в том месте, где установлен распылитель бензина (обрез трубки d). Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному давлению бензин вытекает в поток воздуха. Найдем соотношение между весовыми расходами бензина Gб и воздуха Gв при заданных размерах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2 — 2) ζв и жиклера ζж (сопротивлением бензотрубки пренебрегаем).
Записав уравнение Бернулли для потока воздуха (сечение 0 — 0 и 2 — 2), а затем для потока бензина (сечение 1— 1 и 2 — 2), получим (при z 1 = z 2 и α=1) откуда Учитывая, что весовые расходы получим
3. Струйный насос Струйный насос (эжектор) состоит из плавно сходящегося насадка А, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки С, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере В. Вследствие увеличения скорости потока давление в струе и во всей камере В значительно понижается. В расширяющейся трубке скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу); следовательно, в камере В давление обычно меньше атмосферного, т. е. получается разрежение (вакуум). Под действием этого разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе D в камеру В, где происходит слияние и дальнейшее перемешивание двух потоков.
4. Трубка полного напора Трубка полного напора (или трубка Пито) служит для измерения скорости потока. Пусть жидкость движется в открытом русле со скоростью υ. Если установить в этом потоке трубку, изогнутую под 90°, отверстием навстречу потоку, то жидкость в этой трубке поднимется над свободной поверхностью на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, а давление, следовательно, увеличивается на величину скоростного напора. Измерив высоту подъема жидкости в трубке, легко определить скорость потока.
На этом же принципе основано измерение скорости полета самолета. На рисунке 1. 1 показана схема самолетной скоростной трубки (насадка) для малых по сравнению со скоростью звука скоростей полета. Рисунок 1. 1. Схема насадка для измерения скорости
Запишем уравнение Бернулли для элементарной струйки, которая набегает на трубку вдоль ее оси, а затем растекается по ее поверхности. Взяв сечения 0 — 0 (невозмущенный поток) и 1 — 1 (где υ = 0), будем иметь Так как боковые отверстия трубки приближенно воспринимают давление невозмущенного потока, то р1 ≈ р0; следовательно, из предыдущего имеем
Течение жидкостей в трубах Опыты показывают, что возможны два режима или два вида течения жидкостей и газов в трубах: ламинарный и турбулентный, которые в дальнейшем будем называть соответствующими течениями. Ламинарное течение (в переводе с латинского означает слоистое) — это слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсаций скорости. При таком течении все линии тока вполне определяются формой русла, по которому течет жидкость. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, т. е. прямолинейны; отсутствуют поперечные перемещения жидкости в процессе ее течения. Турбулентное течение (в переводе с латинского означает бурное, возмущенное) — это течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. Движение отдельных частиц оказывается неупорядо ченным, траектории подчас имеют вид замысловатых кривых. Указанные течения жидкости можно наблюдать на приборе, представленном на рисунке 1. 2.
Рисунок 1. 2. Схема прибора для демонстрации течений Данный прибор состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором той или иной краски, которая может по трубке F вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В. Если несколько приоткрыть кран С и тем самым дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что будет указывать на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Это — ламинарное течение.
При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое изменение его. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Течение становится турбулентным (см. рисунок 1. 2, вверху).
Кавитационные течения В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых руслах происходят явления, связанные с изменением агрегатного состояния жидкости, т. е. с превращением ее в пар, а также с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Например, при течении жидкости через местное сужение трубы происходит увеличение скорости и падение давления. Если абсолютное давление при этом достигает значения, равного упругости насыщенных паров этой жидкости при данной температуре, или давления, при котором начинается интенсивное выделение из нее газов, то в данном месте потока начинается интенсивное парообразование и выделение газов. В расширяющейся части потока скорость уменьшается, а давление возрастает, и выделение паров и газов прекращается; выделившиеся пары частично или полностью конденсируются, а газы постепенно растворяются. Это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке, называется кавитацией. Наглядно это явление можно продемонстрировать на простом устройстве (рисунок 1. 3).
Рисунок 1. 3. Схема трубки для демонстрации кавитации Вода или иная жидкость под давлением в несколько атмосфер подводится к регулировочному крану (вентилю) А и далее протекает через стеклянную трубку, которая сначала плавно сжимает поток, затем еще более плавно его расширяет и выводит в атмосферу. При небольшом открытии регулировочного крана и, следовательно, при малых значениях расхода и скорости жидкости падение давления в узком месте трубки незначительно, поток вполне прозрачен и кавитация отсутствует. При постепенном открытии крана происходит увеличение скорости в трубке и падение абсолютного давления. Кавитация может иметь место в гидромашинах (насосах и гидротурбинах), а также на лопастях быстровращающихся гребных винтов. В этих случаях следствием кавитации является резкое снижение коэффициента полезного действия машины и затем постепенное разрушение ее деталей, подверженных воздействию кавитации.
Ламинарное течение Теория ламинарного течения в круглых трубах Как указывалось выше, ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория этого течения жидкости основывается на законе трения Ньютона. Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d = 2 r 0. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, трубу возьмем горизонтальной. Достаточно далеко от входа в нее выделим отрезок потока длиной l между сечениями 1— 1 и 2— 2 (рисунок 1. 4).
Рисунок 1. 4. К теории ламинарного течения жидкости в трубке Пусть в сечении 1— 1 давление равно р1, а в сечении 2— 2 — р2. Ввиду постоянства диаметра сечения трубы скорость жидкости и коэффициент α будут неизменными вдоль потока, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид где hmp — потеря напора на трение.
Отсюда что и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях. В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиуса r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т. е. равенство нулю суммы двух сил, действующих на объем: силы давления и силы сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через τ, получим откуда Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на том же рисунке 1. 4, слева.
Выразим касательное напряжение τ по закону трения Ньютона [ где μ —динамическая вязкость жидкости; dυ — приращение скорости, соответствующее приращению координаты dy] через коэффициент вязкости и поперечный градиент скорости; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом r : Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки). Подставляя значение τ в предыдущее уравнение, получим Найдем отсюда приращение скорости dυ: Положительному приращению радиуса соответствует отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рисунке 1. 4. Выполнив интегрирование, получим
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке при r =r 0, υ = 0: Значение скорости на окружности радиуса r будет таково: (1. 34) Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, оказывается параболой второй степени. Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r = 0): (1. 35) Входящее в формулу (1. 35) отношение pmp / l (рисунок 1. 4) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на γ. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра. Применим полученный нами закон распределения скоростей, описываемый уравнением (1. 34) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку d. S:
Здесь υ есть функция радиуса, определяемая формулой (1. 34), а площадку d. S целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr (рисунок 1. 5), тогда После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т. е. от r = 0 до r = r 0 : (1. 36) Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь: (1. 37) Рисунок 1. 5. Элементарная кольцевая площадка Сравнение этого выражения с формулой (1. 35) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в два раза меньше максимального значения
Для получения закона сопротивления, т. е. выражения потери напора hmp на трение через расход и размеры трубы, определим рmp из формулы (1. 36): Разделив это выражение на γ, получим потерю напора Заменяя μ через νρ и γ через gρ, а также переходя от r 0 к d = 2 r 0, получим (1. 38) Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, часто называемый законом Пуазейля, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением. Выше мы условились выражать потери напора на трение через среднюю скорость по формуле (1. 39) Приведем закон сопротивления (1. 38) к данному виду. Для этого в формуле (1. 38) заменим расход через произведение
после сокращений получим Умножив и разделив на υcp и перегруппировав множители, получим или, приводя к виду формулы (1. 39), окончательно найдем (1. 40) где λл — коэффициент сопротивления трения, который для рассматриваемого ламинарного течения (1. 41)
Турбулентное течение в гладких трубах Ранее было указано, что для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений в процессе течения. Если с помощью особо чувствительного прибора самописца измерить и записать пульсации, например, скорости по времени, то получим картину, подобную показанной на рисунке 1. 6. Величина скорости беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения, которое в данном случае остается постоянным. Рисунок 1. 6. Пульсация скорости в турбулентном потоке
Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы несмотря на прямолинейность трубы. Основной расчетной формулой для турбулентного течения в круглых трубах является уже приводившаяся выше универсальная формула (1. 39), которая непосредственно вытекает из сообра жений подобия и имеет следующий вид: или где λт — коэффициент потерь на трение при турбулентном течении. Коэффициент λт так же, как и λл, должен являться функцией основного критерия подобия, т. е. Re, включающего в себя диаметр трубы, скорость и вязкость жидкости: Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, выражающих эту функцию для турбулентного течения в гладких трубах; одной из наиболее удобных и употребительных является формула П. К. Конакова применимая при Re от Re = Reкр до Re, равного нескольким миллионам.
При 2300<Re<105 можно пользоваться также формулой Блазиуса Отсюда видно, что с увеличением Re коэффициент λт уменьшается, однако это уменьшение гораздо менее значительно, чем при ламинарном течении (рисунок 1. 7). Рисунок 1. 7. График зависимости λл и λт от Re
Общие сведения о местных гидравлических сопротивлениях Гидравлические потери энергии делятся на: местные потери и потери на трение. Потери на трение в прямых трубах постоянного сечения нами уже рассмотрены для ламинарного и турбулентного течений. Рассмотрим теперь потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями, т. е. такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв транзитной струи от стенок русла и возникают вихреобразования. Местные потери удельной энергии (напора) определяются по следующей формуле: Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разбить на внезапное и постепенное: 1) расширение; 2) сужение; 3) поворот русла.
Истечение жидкости через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре В данном разделе мы рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов через отверстия и насадки (короткие трубки разной формы) в атмосферу или в пространство, заполненное газом или той же жидкостью. Этот случай движения жидкости характерен тем, что в процессе истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается с большими или меньшими потерями в кинетическую энергию свободной струи или капель. Основным вопросом, который нас интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Возьмем большой резервуар с жидкостью под давлением р0, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно боль шой лубине г Н 0 от свободной поверхности (рисунок 1. 8). Через это отверстие жидкость вытекает в воздушное (газовое) пространство с давлением р1.
Рисунок 1. 8. Истечение из резервуара через отверстие малого сечения Так как размер отверстия предполагается малым по сравнению с напором Н 0 и размерами резервуара и, следовательно, боковые стенки резервуара и свободная поверхность жидкости не влияют на приток жидкости к отверстию, то наблюдается совершенное сжатие струи, т. е. наибольшее сжатие в отличие от несовершенного сжатия, которое рассмотрено ниже.
Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади поперечного сечения струи в месте сжатия к площади отверстия, (1. 42) Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости от свободной поверхности ее в резервуаре (сечение 0— 0 на рисунке 1. 8), где давление р0, а скорость можно считать равной нулю, до одного из сечений струи (сечение 1— 1) в той ее части, где она уже приняла цилиндрическую форму, а давление в ней, следовательно, сделалось равным р1. Считая распределение скоростей в струе равномерным, получим где ζ — коэффициент сопротивления отверстия. Вводя расчетный напор Н, получим где
Отсюда скорость истечения где φ — коэффициент скорости, равный (1. 43) (1. 44) В случае истечения идеальной жидкости ζ = 0, следовательно, φ = 1, и теоретическая скорость истечения (1. 45) Из рассмотрения формулы (1. 43) можно заключить, что коэффициент скорости φ есть отношение действительной скорости истечения к теоретической: (1. 46) Действительная скорость истечения υ всегда несколько меньше теоретической вследствие сопротивления, следовательно, коэффициент скорости всегда меньше единицы. Подсчитаем расход жидкости как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения струи, а затем, используя соотношения (1. 42) и (1. 43), получим (1. 47)
Произведение коэффициентов ε и φ принято обозначать буквой μ и называть коэффициентом расхода, т. е. Тогда формулу (1. 47) можно окончательно записать (1. 48) где р — расчетное давление, под действием которого происходит истечение. Полученное выражение (1. 48) является основным для данного раздела, так как с его помощью решается основная задача — определяется расход. Оно применимо для всех случаев истечения. Трудность использования этого выражения заключается в достаточной оценке коэффициента расхода μ. Из уравнения (1. 48) следует, что
Гидравлический расчет трубопроводов Простые трубопроводы постоянного сечения Все трубопроводы могут быть разделены на простые и сложные. Простым трубопроводом условимся называть трубопровод без разветвлений, а сложным — трубопровод, имеющий хотя бы одно разветвление (или место смыкания труб). Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад (разность) уровней энергии может быть создан тем или иным способом: работой насоса, за счет разности уровней жидкости, давлением газа. Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве (рисунок 1. 9), имеет общую длину l и диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений. В начальном сечении (1— 1) имеем нивелирную высоту z 1 и избыточное давле ние р1, а в конечном (2— 2) — соответственно z 2 и р2. Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна υ.
Рисунок 1. 9. Схема простого трубопровода Запишем уравнение Бернулли для сечений 1— 1 и 2— 2. Считая α 1 = α 2 и сокращая скоростные напоры, получим или
Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения, назовем потребным напором Нпотр. Пусть геометрическая высота Тогда сумма первых двух слагаемых есть статический напор и его можно представить как некоторую эквивалентную геометрическую высоту подъема жидкости, а последнее слагаемое ∑h — как степенную функцию расхода, тогда (1. 49) где величина k, называемая сопротивлением трубопровода, и показатель т имеют разные значения в зависимости от течения. Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами получим Следовательно, где (1. 50)
Для турбулентного течения, выражая скорость через расход, получим следовательно, (1. 51) Формула (1. 49), дополненная выражениями (1. 50) и (1. 51), является основой для расчета простых трубопроводов.
Параллельное соединение трубопроводов Рассмотрим параллельное соединение нескольких различных трубопроводов (например, 1, 2 и 3) между точками М и N (рисунок 1. 10). Для простоты рассмотрим эти трубопроводы лежащими в горизонтальной плоскости. Рисунок 1. 10. Параллельное соединение труб Обозначим: полные напоры в точках М и N соответственно через НМ и HN; расход в основной магистрали (т. е. до разветвления и после слияния) через Q, а в параллельных трубопроводах через Q 1 , Q 2 и Q 3; суммарные потери напора в этих трубопроводах через ∑h 1, ∑h 2 и ∑h 3.
Прежде всего, запишем следующее очевидное уравнение: (1. 52) Затем выразим потери напора в каждом из трубопроводов через полные напоры в точках М и N: Отсюда делаем следующий вывод: (1. 53) т. е. потери напора в параллельных трубопроводах равны между собой. Эти потери можно выразить в общем виде через соответствующие расходы следующим образом: где k и m определяются в зависимости от течения формулами (1. 50) и (1. 51).
Основы теории лопастных насосов Введение Гидравлическими машинами называются машины, назначением которых является либо сообщить протекающей через них жидкости механическую энергию (насос), либо, наоборот, получить от жидкости часть энергии и передать ее рабочему органу для полезного использования (гидравлический двигатель). Насосы являются одной из самых распространенных разновидностей машин. Они применяются для самых различных целей, начиная от водоснабжения населения и предприятий и кончая подачей топлива в двигателях ракет.
Схема центробежного насоса консольного типа: 1 – подвод; 2 – рабочее колесо; 3 – отвод; 4 – диффузор; 5 – язык
Подача, напор и мощность насоса Работа насоса характеризуется его подачей, напором и потребляемой мощностью. Подачей Q насоса называемся объем жидкости, перемещаемой насосом за единицу времени. Напором Н насоса называется энергия, сообщаемая им единице веса (1 к. Г или 1 н) перемещаемой жидкости. Напор насоса равен разности полного напора за насосом и напора перед ним (2. 1) и выражается в метрах столба перемещаемой жидкости. Мощность насоса можно определить из следующих соображений: каждой единице веса жидкости насос передает энергию в количестве Н м, за единицу времени через насос протекает жидкость весом Qγ. Следовательно, энергия, передаваемая насосом жидкости за единицу времени, или полезная мощность насоса (2. 2)
Потребляемая насосом мощность N (мощность на валу насоса) больше полезной мощности Nп на величину потерь в насосе. Эти потери мощности оцениваются к. п. д. η насоса, который равен отношению полезной мощности насоса к потребляемой им мощности двигателя: (2. 3) Отсюда потребляемая насосом мощность (2. 4) Найденные по уравнениям (2. 2) и (2. 4) мощности выражаются в технической системе единиц в к. Гм/сек, в системе СИ — в ваттах.
Выбор величины угла β 2 л выхода На выходе из рабочего колеса лопатки могут быть изогнуты по направлению вращения назад (β 2 л < 90°) или вперед (β 2 л > 90°), либо оканчиваться радиально (β 2 л = 90°, рисунок 2. 1, а, б и в). Рисунок 2. 1. Формы лопаток центробежного насоса
На рисунке 2. 2 изображены треугольники скоростей на выходе из рабочего колеса с бесконечным числом лопаток, соответствующие этим трем формам лопаток. Из треугольников скоростей следует, что при увеличении угла β 2 л окружная составляющая абсолютной скорости υu 2∞ увеличивается. Следовательно напор насоса при увеличении β 2 л повышается. Это делает, на первый взгляд, выгодным применение лопаток, изогнутых по ходу вперед. Тем не менее рабочие колеса центробежных насосов выполняют, как правило, с лопатками рабочего колеса, изогнутыми по ходу назад. Рисунок 2. 2. Треугольник скоростей выхода для различных форм лопаток
Коэффициент быстроходности В настоящее время широко применяется проектирование нового насоса путем пересчета по формулам подобия размеров существующего насоса. Для того чтобы воспользоваться этим методом, следует выбрать среди всего многообразия существующих насосов, имеющих высокие технико экономические показатели, такой насос, у которого, режим, подобный заданному режиму работы проектируемого насоса, был бы близок к оптимальному. Для этого необходимо разработать параметр, который служил бы критерием подобия и, следовательно, был бы одинаков для всех подобных насосов. Определив по заданным Н, Q и п проектируемого насоса этот критерий подобия и сравнив его с критериями подобия имеющихся конструкций, получим возможность подобрать необходимый насос. Для подобных насосов, работающих на подобных режимах, справедливы уравнения
Эти уравнения можно записать иначе: (2. 5) (2. 6) Величины q и h одинаковы для подобных насосов, работающих в подобных режимах, и, следовательно, являются критериями подобия. Однако они не могут быть определены для проектируемого насоса, так как неизвестен размер L насоса. Для того чтобы исключить из уравнений (2. 5) и (2. 6) линейный размер L, возведем правую и левую части уравнения (2. 5) и квадрат, а уравнения (2. 6) — в куб и разделим уравнения друг на друга: или (2. 7) Так как параметры q и h постоянны для всей серии подобных насосов, работающих на подобных режимах, то и пу также для нее одинаков. Следовательно, параметр пу является искомым критерием подобия. Этот параметр называется удельным числом оборотов.
В насосостроении большее распространение получил параметр пs , в 3, 65 раза больший удельного числа оборотов: (2. 8) который называется коэффициентом быстроходности. В зависимости от коэффициента быстроходности рабочие колеса лопастных насосов можно разделить на следующие разновидности (см. таблицу 2. 1).
Таблица 2. 1 Разновидности рабочих колес лопастных насосов
Центробежные: а) т и х о д н ы е, имеющие малый коэффициент быстроходности (пs = 50 ÷ 90). Из уравнения (2. 8) следует, что при постоянной подаче и постоянном числе оборотов (чему соответствует постоянный диаметр горловины рабочего колеса D 0) коэффициент быстроходности тем меньше, чем больше напор. Для того чтобы получить большой напор, необходим большой диаметр D 2 рабочего колеса. Поэтому тихоходные рабочие колеса имеют большое отношение D 2 / D 0 диаметров, доходящее до 3, 0. Лопатки рабочего колеса обычно имеют простую цилиндрическую форму с образующей цилиндра, параллельной оси насоса; б) н о р м а л ь н ы е (пs = 80 ÷ 300). Увеличение быстроходности, связанное с уменьшением напора, ведет к уменьшению выходного диаметра рабочего колеса (D 2 / D 0 = 2, 5 ÷ 1, 4). Для уменьшения гидравлических потерь на входе в рабочее колесо, значение которых в общем балансе энергии возрастает по мере уменьшения напора насоса, входной участок лопаток выполняется двойной кривизны. Выходной участок имеет цилиндрическую форму.
Полуосевые, или диагональные (пs = 250 ÷ 500; D 2 / D 0 = 1, 4 ÷ 0, 9). Уменьшить отношение D 2 / D 0 до величины, близкой или меньшей единицы, можно только в том случае, если выходную кромку лопаток наклонить к оси. Кроме того, наклон выходной кромки обеспечивает более плавную форму лопатки, что уменьшает гидрав лические потери в рабочем колесе. Для того чтобы получить на разных струйках, имеющих разный диаметр выхода, одинаковый напор, приходится лопатку выполнять двойной кривизны не только на входе, но и на выходе. Осевые, или пропеллерные (пs = 500 ÷ 1000; D 2 / D 0 ≈ 0, 8). При дальнейшем увеличении быстроходности наклон выходной кромки лопаток возрастает, и она становится почти перпендикулярной оси насоса. При этом жидкость движется через рабочее колесо на постоянном расстоянии от его оси. В отличие от большинства центробежных насосов колесо осевого насоса не имеет наружного обода.
Работа насоса на сеть Насос, установленный в данной насосной установке, работает на таком режиме, при котором потребный напор равен напору насоса, т. е. при котором энергия, потребляемая при движении жидкости по трубопроводам установки, равна энергии, сообщаемой жидкости насосом. Для определения режима работы насоса следует на одном и том же графике в одинаковых масштабах нанести характеристику насоса и насосной установки (рисунок 2. 3). Рисунок 2. 3. Определение режима работы насоса на сеть
Равенство напора насоса и потребного напора установки получается для режима, определяемого точкой А пересечения характеристик. Покажем, что насос не может работать в режиме, отличном от режима А. Предположим, что насос работает в режиме В. В этом случае напор, сообщаемый насосом жидкости, равен НВ; напор, расходуемый при движении жидкости по установке, равен НВ потр < НВ. Таким образом, энергия, расходуемая при движении жидкости по установке, меньше сообщаемой ей насосом. Избыток энергии в жидкости идет на приращение ее кинетической энергии. Следовательно, скорость жидкости увеличивается. Увеличение скорости приведет к увеличению расхода, которое будет происходить до тех пор, пока он сравняется c QA. Если подача насоса больше QA (режим С, рисунок 2. 3), то сообщаемый насосом напор меньше потребляемого. Недостаток энергии приведет к уменьшению скорости движения и, следова тельно, уменьшению расхода до к QA.
Основное уравнение газовой динамики Получим основные уравнения установившегося движения газа. Для этого обратимся к уравнениям неразрывности и уравнению Эйлера в векторной форме, которые можно записать иначе, если учесть, что а 2 = dp /dρ и, следовательно, Исключим из этих уравнений плотность ρ. Для этого первое из них скалярно умножим на а 2, а второе — на , и из первого произведения вычтем второе. В результате получим (3. 1) Данное уравнение, записанное в векторной форме, является основным уравнением газовой динамики при установившемся движении. В декартовых и цилиндрических координатах оно соответственно имеет вид (3. 2)
(3. 3) Уравнения (3. 2) и (3. 3) справедливы и для вихревого движения газа. При потенциальном движении в (3. 2) нужно положить а в (3. 3) В равенстве (3. 2) в случае плоского движения w = 0; ∂φ / ∂z = 0, а в случае осесимметричного движения υθ = 0; ∂φ / ∂θ = 0. Решения уравнения (3. 2). . . (3. 3) будут различными в зависимости от типа уравнения. Из курса математики известно, что дифференциальные уравнения в частных производных бывают трех типов: эллиптического, параболического и гиперболического. Следует выяснить, к какому типу относятся эти уравнения. Для простоты, мы это сделаем на примере уравнений, зависящих от двух переменных, используя понятие характеристик уравнений в частных производных.
Характеристики уравнения плоского и осесимметричного течения газа Найдем характеристики уравнений плоского и осесимметричного установившихся движений газа. Уравнения плоского движения получим из уравнения (3. 2), имея в виду, что в таком течении w = 0. Тогда (3. 4) Так как это уравнение справедливо как для вихревого, так и для безвихревого движения, то для определенности положим (3. 5) Аналогичные уравнения для осесимметричного течения получим, учитывая, что в уравнении (3. 3) υθ = 0. Тогда (3. 6) а выражение для вихря (3. 7)
Уравнения плоского и осесимметричного течений газа можно привести к единой системе (3. 8) (3. 9) где для плоского движения η = у и ε = 0, а для осесимметричного η = r и ε = 1. Присоединим к системе уравнений (3. 8) и (3. 9) уравнения совместности (3. 10) (3. 11) где Исключим из уравнений (3. 8) и (3. 9) с помощью (3. 10) и (3. 11) производные ∂u/∂x и ∂υη /∂x. Тогда (3. 12) (3. 13)
Уравнение характеристик для этой системы получим, приравняв ее определитель нулю: (3. 14) Раскрывая (3. 14) и делая элементарные преобразования, будем иметь (3. 15) откуда (3. 16) где Выражения (3. 15) и (3. 16) показывают, что направления характеристик для вихревых и потенциальных течений одинаковы. Различие заключается только в энтропии. В случае потенциального течения энтропия постоянна, а при вихревом движении она изменяется при переходе от одной линии тока к другой. Изменение энтропии связано с наличием в потоке вихрей.
Линии, задаваемые уравнением (3. 16), являются характеристиками уравнений (3. 8) и (3. 9). Из уравнения (3. 16) видно, что при скорости движения, большей скорости звука, имеются два различных действительных семейства характеристик. В этом случае уравнения системы (3. 8), (3. 9) будут гиперболического типа. При V < a получаются два различных мнимых семейства характеристик и система будет эллиптического типа. Наконец, при V = a имеются два действительных слившихся семейства характеристик, а уравнения (3. 8), (3. 9) будут параболического типа. Эффективное определение характеристик требует знания поля скоростей в плоскости течения газа (физической плоскости). Поэтому необходимо провести дальнейшее исследование. Будем называть после интегрирования уравнений (3. 16) кривые η 1 = f 1 (x) с положительным знаком у радикала характеристиками 1 го семейства, а η 2 = f 2 (x) с отрицательным знаком у радикала — характеристиками 2 го семей ства. аким образом, при V > а все Т поле течения может быть покрыто двумя семействами действительных характеристик. Поставим вопрос: как будут изменяться компоненты скорости при переходе от одной точки к другой вдоль характеристики семейства I или II. Пусть в физической плоскости (плоскости течения газа) имеется характеристика первого семейства I (рисунок 3. 1).
Рисунок 3. 1. Характеристики в физической плоскости (а) и плоскости годографа (б) Пусть в точке М известны величина и направление скорости V. Введем плоскость изменения компонент скорости — плоскость u, υη. Тогда в плоскости u, υη точке М будет соответствовать точка т. При перемещении вдоль характеристики в физической плоскости концы векторов скорости будут скользить в плоскости u, υη по кривой тт1. При определении скорости вдоль характеристики II второго семейства получим кривую тт1’. Каждая из кривых в плоскости u, υη будет годографом векторов скоростей вдоль характеристик в физической плоскости. Плоскость u, υη называют плоскостью годографа, а годографы тт1 и тт1’ — характеристиками в плоскости годографа.
Годографы, или характеристики в плоскости годографа дают геометрическое представление об изменении скорости вдоль характеристики в физической плоскости. Изменение скорости вдоль характеристики в физической плоскости можно получить, если найти производные ∂u/∂η и ∂υη /∂η из уравнений (3. 12) и (3. 13). Это можно сделать при условии, что определители, полученные заменой столбцов определителя (см. формулу (3. 14)) правыми частями уравнений (3. 12) и (3. 13), обращаются в нули. Следовательно, (3. 17) откуда (3. 18)
Для плоского движения в (3. 18) мы должны положить η = у и ε = 0. Тогда, учитывая свойства корней уравнения (3. 15), имеем (3. 19) Для осесимметричного движения η = r и ε = 1, поэтому (3. 20) Для потенциальных потоков ω = 0, и из уравнений (3. 19) и (3. 20) следует, что для плоского течения (3. 21) а для осесимметричного – (3. 22) Уравнения (3. 19). . . (3. 22) называются уравнениями зависимости параметров потока вдоль характеристик в физической плоскости. Эти уравнения в газовой динамике принято также называть уравнениями характеристик в плоскости годографа вектора скорости.
Наиболее простой вид у характеристик в плоскости годографа будет при потенциальном плоском движении. В этом случае из уравнения (3. 21) имеем (3. 23) Из полученных выражений легко установить ортогональность характеристик первого семейства в плоскости годографа скорости и характеристик второго семейства в плоскости течения газа и наоборот. В самом деле, из соотношений (3. 23) имеем (3. 24) Поэтому касательные к характеристике первого семейства в физической плоскости и к характеристике второго семейства плоскости годографа ортогональны. Точно так же касательная к характеристике второго семейства в физической плоскости ортогональна касательной к характеристике первого семейства в плоскости годографа.
В заключение перечислим основные свойства характеристик: 1) характеристики — кривые, из которых может быть построена интегральная поверхность; 2) характеристики — кривые, на которых частные производные по координатам параметров потока терпят разрыв при непрерывности самих параметров; 3) характеристики — огибающие семейства линий возмущения (см. рисунок 3. 2); Рисунок 3. 2. Характеристика в физической плоскости: 1, 2 – линия возмущений; 3 –характеристика
4) проекция скорости на нормаль к характеристике равна скорости звука; 5) из каждой точки области сверхзвукового потока выходят две различные характеристики. Скорость потока направлена по биссектрисе угла между касательными к характеристикам; 6) характеристики определяют области влияния и зависимости. Действительно, пусть заданы начальные условия на некоторой кривой L, не являющейся характеристикой. Выберем участок АВ на этой кривой (рисунок 3. 3). Из точек А и В выходит по две характеристики I и II. Значение функций внутри треугольника АСВ будет зависеть только от начальных данных на участке АВ и не будет зависеть от начальных данных вне АВ. Область АСВ называется областью зависимости. В свою очередь, областью влияния точки Q на кривой L называется область, точки которой испытывают влияние начальных данных в точке Q (рисунок 3. 4). Рисунок 3. 3. Область зависимости Рисунок 3. 4. Область влияния
Численный расчет параметров потока методом характеристик Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к расчету поля скоростей сверхзвукового плоского установившегося течения газа. Для простоты рассуждений вначале ограничимся потенциальным течением, потом укажем порядок расчета вихревых течений. Рассмотрим основные задачи, к которым можно свести расчеты поля скоростей сверхзвукового потока. Задача 1 (задача Коши). Пусть на дуге АВ некоторой линии L, не являющейся характеристикой, (рисунок 3. 5) будут заданы значения скорости. Рисунок 3. 5. Решение задачи Коши методом характеристик
Проведем из точек А и В характеристики I и II различных семейств, пересекающиеся в точке С (характеристики одного и того же семейства не пересекаются). Разобьем дугу АВ на п частей точками А 1, А 2, …, Ai. Рассмотрим участок дуги Ai. Ai+1. Из точек Ai и Ai+1 выходят характеристики различных семейств, которые заменим касательными, пересекающимися в точке Nj. Пусть координаты точек Ai(xi, yi); Ai+1(xi+l, yi+1); Nj(xj, yj). Тогда, пользуясь формулой (3. 16), находим: (3. 25) где λ 1 Ai и λ 2 Ai+1 — направления характеристик первого и второго семейств, выходящих из точек Ai и Ai+1. Из уравнений (3. 25) определяются координаты точки Nj(xj, yj). На основании уравнения (3. 21), записанного в конечных разностях, имеем (3. 26) (3. 27) Отсюда отыскиваются проекции скорости u(j) и υ(j) в точке Nj(xj, yj).
Модуль скорости направление скорости определяется углом θj, тангенс которого равен υ(j) / u(j). Таким образом, величина и направление скорости в точке Nj могут быть легко найдены. Выполняя расчеты для точек Nj+1, Nj+2 , …, получаем ряд точек, в которых будут известны величины и направления скорости. Принимая значения скорости в точках Nj за начальные данные, аналогичным методом найдем значения скоростей в следующем ряду точек (расположенных ближе к точке С, чем точки Nj), и т. до тех пор, пока область характеристического треугольника ABC не будет покрыта элементарными треугольниками. Точность расчета будет зависеть от плотности распределения по области ABC выбранных точек Ai на дуге АВ. Чем больше плотность точек, тем результат точнее.
Задача 2 (задача Гурса). На дугах АВ и AD характеристик различных семейств, выходящих из точки А, заданы проекции скорости и и υ. Требуется определить поле скоростей в характеристическом четырехугольнике ABCD (рисунок 3. 6). Рисунок 3. 6. Решение задачи Гурса методом характеристик Разобьем дуги АВ и AD соответственно на п и т частей. Пусть в точках Ai(xi, yi) и Вj(xj, yj) проекции скорости соответственно будут u(i), υ(i) и u(j), υ(j).
Проведем из точек А 1 и В 1 отрезки характеристик I и II различных семейств, которые пересекутся в точке N 11(х11, у11). Координаты этой точки можно найти из уравнений (3. 28) где λ 1 и λ 2 определяются по начальным данным согласно формуле (3. 16). Запишем в конечных разностях уравнение зависимости (3. 21). Тогда для характеристик, выходящих из точек А 1 и В 1, будем иметь (3. 29) (3. 30) Из уравнений (3. 29) и (3. 30) в точке N 1 1 находим значения и и υ, которые принимаем за начальные данные для определения положения точки N 12 и значений проекций скорости в ней. В результате получим ряд точек N, в которых значения проекций скоростей снова принимаются за начальные. Затем указанным выше способом рассчитываются координаты точек второго и следующих рядов, в которых определяются скорости. Это делается до тех пор, пока вся область ABCD не будет заполнена точками с известными в них скоростями.
Задача 3. Твердая стенка АС (рисунок 3. 7) обтекается сверхзвуковым потоком. Из точки А на стенке выходит характеристика I первого семейства, вдоль которой известны скорости. Требуется определить поле скоростей в характеристическом треугольнике ABC. Рисунок 3. 7. Определение поля скоростей методом характеристик в окрестности твердой стенки Разобьем дугу АВ на п частей и получим точки Ai(xi, yi). Из точки А 1 проведем направление характеристики II второго семейства до пересечения со стенкой в точке В 1.
Координаты точки В 1 найдем из совместного решения уравнения направления характеристики второго семейства (3. 31) и уравнения стенки y = f (x). (3. 32) Определив положение точки В 1, приступим к нахождению скорости в этой точке. Из уравнения зависимости (3. 21) имеем (3. 33) Второе уравнение составим, учитывая граничное условие на стенке. В силу условия непротекания скорость направлена по касательной к стенке, поэтому (3. 34) Теперь, зная параметры потока в точках А 2 и В 1 проведем из этих точек направления характеристик второго и первого семейств до пересечения в точке C 1. Координаты этой точки и параметры потока в ней определяются так же, как и в задаче 2. Затем из точки C 1 проведем до пересечения со стенкой в точке B 2 прямую, аппроксимирующую характеристику второго семейства. Координаты точки B 2 и скорость в этой точке находятся аналогично предыдущим. Далее процесс расчета повторяется до тех пор, пока область треугольника АВС не будет заполнена точками с известными скоростями.
Задача 4. Из точки А на свободной поверхности среды проведена характеристика АВ, вдоль которой заданы скорости потока. Требуется определить решение в характеристическом треугольнике ABC, форму свободной поверхности и характеристику, выходящую из точки В (рисунок 3. 8). Рисунок 3. 8. Определение поля скоростей методом характеристик в окрестности свободной поверхности Разобьем дугу характеристики АВ на п частей, в результате получим точки N 1, N 2. Из точки А проведем направление, совпадающее с направлением известной скорости в этой точке; из точки N 1 проведем направление характеристики I первого семейства до пересечения с направлением скорости в
Координаты точки Q 1 получим из уравнений (3. 35) Скорость в этой точке найдем из соотношений (3. 36) (3. 37) Последнее равенство вытекает из условия, что на свободной поверхности давление постоянно. (Поэтому на основании уравнения Бернулли и скорость по модулю будет величиной постоянной. ) Определив из (3. 36) и (3. 37) величины u. Q 1 и υQ 1, направление скорости найдем из условия tgθ = υQ 1 / u. Q 1. Дальнейшие расчеты аналогичны изложенным в предыдущих задачах.
Скачать презентацию Примеры использования уравнения Бернулли в технике Полученное ранее
Гидравлика.ppt