Пример решения транспортной задачи закрытая модель Исследование операций

Пример решения транспортной задачи (закрытая модель) Исследование операций

Задача Составить оптимальный план перевозок груза из трех пунктов отправления с запасами 30, 48, 24 т в четыре пункта назначения с потребностями 18, 27, 42, 15 т. Тарифы перевозок сij (в ден/ед. ) из (i= 1, 2, 3) в (j=l, . . , 4) приведены в матрице

Рассмотрим методы построения опорных планов (опорного решения) ТЗ

Метод северо-западного угла Заполняют клетку A 1 B 1, (левый верхний угол), поставив в него min(a 1 b 1). Если min совпадает с A 1, то запасы пункта A 1 считают исчерпанными и переходят к удовлетворению потребностей b 1 начиная с ячейки А 2 В 1. Затем переходят к заполнению клетки А 2 В 2. Перемещаясь так по диагонали, доходят до последней клетки Аm. Вn. При этом все грузы будут исчерпаны, и потребности пунктов удовлетворены. Замечание: если на некотором шаге исчерпаны запасы, то переходим к удовлетворению потребностей как это было описано выше. Если же были удовлетворены потребности, то приступают к исчерпыванию запасов аналогичным способом.

Решение задачи методом северо-западного угла Bj B 1 B 2 B 3 B 4 ai Ai A 1 A 2 A 3 bj 18 1 шаг 13 11 Х 7 12 2 шаг 15 3 шаг 6 8 10 11 Х 33 4 шаг 13 9 12 5 шаг Х Х 18 27 42 15 9 Х Х 5 30 12 7 48 33 9 15 6 шаг 24 15 15 102

Опорное решение задачи

Метод аппроксимации Фогеля 1. На каждом шаге находят разности между двумя наименьшими тарифами (даже если они одинаковые) во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы; 2. Из найденных разностей выбирают максимальную и заполняют клетку, которой соответствует данная разность. Процесс продолжается до тех пор, пока все грузы не будут развезены по потребителям.

Решение задачи методом аппроксимации Фогеля Bj B 1 B 2 B 3 B 4 ai ∆с Ai A 1 A 2 Х Х A 3 18 1 шаг bj 18 ∆с 13 11 6 Х 27 3 шаг Х 27 7 8 10 15 5 15 11 2 шаг 6 шаг 21 13 4 шаг Х 6 12 5 шаг Х 42 7 30 15 48 15 21 9 24 6 102 В 5 В 1 1 В 2 В В 11 2 4 13 В 1 5 В 1 12 3 2

Опорное решение задачи

Метод минимальной стоимости для нахождения опорного плана Предполагает заполнение на каждом шаге клеток с минимальным тарифом, что даст, очевидно, меньшие суммарные затраты на перевозку груза.

Решение задачи методом наименьшей стоимости Bj B 1 B 2 B 3 B 4 ai 15 5 1 шаг 30 15 7 48 Ai A 1 A 2 A 3 bj 13 Х 11 Х 18 2 шаг 18 7 15 3 шаг 12 4 шаг 6 8 10 Х Х 36 6 шаг 11 13 6 12 5 шаг 27 42 12 36 Х 36 9 Х 24 6 15 102

Опорное решение задачи

Метод потенциалов базируется на следующей теореме (признак оптимальности решения): Для заполненных ячеек таблицы должно выполняться условие: Для незаполненных ячеек условие: (причем количество заполненных ячеек в опорном плане должно быть равно n+m-1, где m – число поставщиков, n – число потребителей)

Проверим план, полученный с помощью метода наименьшей стоимости, на оптимальность n+m-1=4+3 -1=6 Должно быть заполнено 6 ячеек. Реально заполненных ячеек тоже 6.

Составим систему уравнений для заполненных ячеек: u 1 + v 2 = 7 u 1 + v 4 = 5 u 2 + v 2 = 8 u 2 + v 3 = 13 u 3 + v 1 = 6 u 3 + v 3 = 12 Полагая u 1 = 0, найдем: v 2 = 7 v 4 = 5 Так как v 2 = 7, то u 2 = 1 Так как u 2 = 1, то v 3 = 12 Так как u 3 = 0, то v 1 = 6 Так как v 3 = 12, то u 3 = 0 Итак, u 1 = 0, u 2 = 1, u 3 = 0, v 1 = 6, v 2 = 7, v 3 = 12, v 4 = 5

Проверим второе условие теоремы для незаполненных ячеек u 1 оптимальный, План X 1 не+ v 1 = 6 ≤ C 11 = 13 + u 1 v 3 = 12 > C 13 поэтому+необходимо= 11 ( 1) u 2 + v 1 = 7 ≤ грузов перераспределение. C 21 = 11 + u 1 = 0, u 2 = 1, u 3 = 0, v 1 = 6, v 2 = 7, v 3 = 12, v 4 = 5 u 2 + v 4 = 6 ≤ C 24 = 7 + u 3 + v 2 = 7 ≤ C 32 = 10 + u 3 + v 4 = 5 ≤ C 34 = 9 +

Перераспределение грузов При этом звенья ломанной Цикл - ломанная, вершины осуществляется с помощью должны находятся в заполненных которой удовлетворять циклического сдвига следующим условиям: ячейках, кроме одной. Это одна 1. Параллельность строкам и вершина должна находиться в столбцам незаполненной ячейке, для 2. В каждой vj > Cij которой ui + строке. и каждом столбце не более двух вершин

Построение цикла Построим цикл: u 1 + v 3 = 12 > C 13 = 11 Всем вершинам ломанной припишем + или –, начиная с проблемной ячейки:

Циклический сдвиг В свободную клетку помещаем груз величиной , равной минимальному значению из всех чисел в отрицательных клетках цикла. Min (15, 36)=15 Сдвиг по циклу: Во все положительные клетки прибавляем , из отрицательных – вычитаем . Новый план: Проверим новый план на оптимальность

Составим систему уравнений для заполненных ячеек: u 1 + v 3 = 11 u 1 + v 4 = 5 u 2 + v 2 = 8 u 2 + v 3 = 13 u 3 + v 1 = 6 u 3 + v 3 = 12 Полагая u 1 = 0, найдем: v 3 = 11 v 4 = 5 Так как u 2 = 2, то v 2 = 6 Так как v 3 = 11, то u 2 = 2 Так как u 3 = 1, то v 1 = 5 Так как v 3 = 11, то u 3 = 1 Итак, u 1 = 0, u 2 = 2, u 3 = 1, v 1 = 5, v 2 = 6, v 3 = 11, v 4 = 5

Проверим второе условие теоремы для незаполненных ячеек u 1 + v 1 = 5 ≤ C 11 = План X 2 оптимальный 13 + u 1 = 0, u 2 = 2, u 3 = 1, v 1 = 5, v 2 = 6, v 3 = 11, v 4 = 5 u 1 + v 2 = 6 ≤ C 12 = 7 u 2 + v 1 = 7 ≤ C 21 = 11 u 2 + v 4 = 7 ≤ C 24 = 7 u 3 + v 2 = 7 ≤ C 32 = 10 u 3 + v 4 = 6 ≤ C 34 = 9 + + +

Оптимальное решение: Zmin=15*11+15*5+27*8+21*13+18*6+6*12=909

Используемая литература: Борзунова Т. Л. , Барыкин М. П. , Данилов Е. А. Соловьева О. Ю. - Математическое моделирование: учебное пособие/Волг. ГТУ, - Волгоград, 2008. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике – СПб: Питер, 2000.