Пример 6 Построить симплекс-таблицу для нашего примера БП

Пример 6. Построить симплекс-таблицу для нашего примера БП значения x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Итерация 1 II. Среди элементов последней строки симплекс-таблицы имеются отрицательные элементы. Следовательно, начальный план не является оптимальным.

III. Переход к новому ДБР. 1) В состав БП вводят СП xk, для которой отрицательная оценка наименьшая: Столбец k при этом называют ведущим. 2) Свободной делают БП xl, для которой отношение cвободного элемента к положительному элементу ведущего столбца минимальное: Строку l при этом называют ведущей.

БП Значение (b') s 1 1000 s 2 Z x 1 x 2 s 1 s 2 b ׳ I /a ׳ ik 5 10 1 0 25 0, 1 0, 3 0 1 0 -40 -100 0 0 Δ 1 y 2 Δ 2 y 1

БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 y 1 y 2 s 1 x 2 Z Δ 1 Δ 2 b ׳ I /a ׳ ik

III. 3) Правила пересчета симплекс-таблицы 1) элементы в ведущей строке находят, разделив числа в этой строке на ведущий элемент; 2) остальные элементы новой таблицы получаются из соответствующих элементов старой таблицы. Каждому элементу соответствует один элемент в ведущей строке и один элемент в ведущем столбце. Используя эти элементы, формулу для пересчета можно сформулировать следующим образом: новый старый (элем. вед. столбца)∙(элем. вед. строки) элемент ведущий элемент

БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 x 2 250/3 1 0 10/3 Z Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 b ׳ I /a ׳ ik

Пересчитаем коэффициенты первой строки.

БП s 1 x 2 Значение x 1 (b') 500/3 5/3 250/3 1/3 x 2 s 1 s 2 0 1 -100/3 1 0 10/3 Z Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Аналогично пересчитывается последняя строка.

Симплекс-таблица нового базисного плана базис значение x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 500/3 5/3 0 1 -100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 Z 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Итерация 2 II. Так как в последней строке симплекс- таблицы есть отрицательное число, то ДБР неоптимально. III. 1) Поскольку отрицательная оценка одна, то в базис нужно вводить переменную x 1. Соответствующий столбец будет ведущим. 2) Вычисляем отношения для определения ведущей строки.

базис значение x 1 s 1 500/3 5/3 0 1 -100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 Z 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 Δ 1 x 2 s 1 Δ 2 y 1 s 2 y 2

Повторение Переход к новому ДБР: одну из базисных переменных (БП) приравнивают к 0, а одна из свободных переменных (СП) вводится в базис. Алгоритм: 1) определить новую БП; 2) определить новую СП; 3) пересчитать коэффициенты. II и III этапы составляют итерацию, т. е. повторяются, пока план не окажется оптимальным.

Пример 3. Построить симплекс-таблицу для оптимизации ЗЛП Примера 2 Повторение Таблица 1 БП Значения b x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Повторение Итерация 1 1). Проверка критерия оптимальности. Если в строке Z симплекс-таблицы нет отрицательных значений, решение оптимально. У нас имеются отрицательные элементы. Следовательно, начальный план не оптимален. БП Значения b x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Повторение Выберем х2 в качестве новой базисной переменной (вводим в базис производство второго продукта) Столбец х2 - ведущий Таблица 1 БП s 1 Значения b 1000 x 1 5 x 2 10 s 1 1 s 2 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Повторение Минимальное значение достигается для S 2. Значит, базисная переменная S 2 переходит в свободные Таблица 1 БП s 1 Значение x 1 b 1000 5 x 2 s 1 s 2 10 1 s 2 25 0, 1 0, 3 0 Z 0 -40 Δ 1 -100 Δ 2 b ׳ I /a ׳ ik 0 0 y 1 y 2 Строка S 2 ведущая Число на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – ведущий элемент

Таблица 2 Повторение БП s 1 x 2 Z Значение (b') 250/3 x 1 x 2 1/3 Δ 1 1 s 2 b ׳ I /a ׳ ik 0 10/3 Δ 2 y 1 y 2 x 1 x 2 s 1 s 2 10 1 0 0 1 БП Значение b’ s 1 1000 s 2 25 0, 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 5 Таблица 1 0, 3 b ׳ I /a ׳ ik

Повторение 2. 3. 2. Остальные элементы новой таблицы получаем из соответствующих элементов старой таблицы. Формула для пересчета:

Повторение Пересчет первой строки Таблица 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 x 2 500/3 250/3 1 0 Δ 2 s 2 y 1 b ׳ I /a ׳ ik 10/3 Z Δ 1 Пересчет Значения b’ для S 1 y 2 БП Значение x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Повторение Итерация 3 Среди значений последней строки симплекс- таблицы нет отрицательных! Поэтому эта таблица определяет оптимальные планы прямой и двойственной задач. БП Значение b ׳ x 1 x 2 s 1 s 2 x 1 x 2 100 50 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 Z 9000 0 0 4 200 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2

Самостоятельная работа 1 Задание. Исходная симплекс-таблица задачи линейного программирования имеет вид: Тогда переменную … следует ввести в базис A. x 2. B. x 1. C. x 3. D. x 4.

Сверим ответы? Ведущий столбец Решение: Наибольшее (по модулю) отрицательное значение соответствует переменной х2. Вводим в базис переменную х2.

Самостоятельная работа 2 Задание. Исходная симплекс-таблица задачи линейного программирования имеет вид: Тогда переменную … следует ввести в базис, а переменную … вывести из базиса. A. x 2 ввести, x 4 вывести. B. x 1 ввести, x 4 вывести C. x 2 ввести, x 3 вывести D. x 1 ввести, x 3 вывести

Сверим ответы? Ведущий столбец min 12/4=3 10/2=5 Ведущая строка Решение: х2 ввести, x 3 вывести

Анализ оптимальной симплекс-таблицы 1. Значения второго столбца определяют значения БП: x 1 =100; x 2 =50. Все переменные, не входящие в первый столбец, являются свободными и равны 0: s 1 =0, s 2 =0. БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2

Анализ оптимальной симплекс-таблицы Базисное решение прямой задачи: Х 2 = {x 1=100; x 2 = 50; S 1 = 0; S 2 = 0} БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2

Анализ оптимальной симплекс-таблицы 2. В последней строке определяются: § значение ЦФ прямой задачи Z=9000; § значения 0 в столбцах x 1 и x 2 означают, что производства первого и второго продуктов рентабельны: Δ 1=0, Δ 2=0. БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2