Пример-2 решения задачи 12 контрольной работы Тема

Пример-2 решения задачи № 12 контрольной работы Тема: позиционные задачи на пересечение фигур. Прежде, чем приступить к решению задачи рекомендую проработать тему на форуме: «Общий алгоритм решения позиционных задач на пересечение» . Условие задачи: Определить точки пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с поверхностью. Решить вопрос видимости прямой.

S 2 Заданы поверхность прямого кругового конуса и отрезок прямой общего положения АВ A 2 B 2 S 1 A 1 B 1

S 2 Для того, чтобы секущая плоскость пересекла обе фигуры по простым для построения линиям, ее надо задать «через» прямую, так как пересечением прямой и плоскости, если прямая принадлежит этой плоскости, является сама прямая. A 2 B 2 S 1 A 1 B 1

S 2 α 2 A 2 B 2 S 1 A 1 B 1 Однако, если зададим фронтально проецирующую плоскость α (α 2 ), то линией пересечения этой плоскости с поверхностью конуса будет эллипс, что не является простой для построения линией.

S 2 A 2 B 2 S 1 A 1 B 1 Если зададим горизонтально проецирующую плоскость α (α 1), то линией пересечения этой плоскости с поверхностью конуса будет гипербола, что так же не является простой для построения линией. α 1

S 2 A 2 B 2 S 1 A 1 Если в качестве посредника воспользоваться плоскостью общего положения и задать ее через вершину конуса, то линией B 1 пересечения этой плоскости с поверхностью будут две пересекающиеся прямые.

S Рассмотрим решение задачи на примере пространственной модели. Следует иметь ввиду, что линия среза (основание конуса) должна принадлежать плоскости проекций, или надо дополнительно вводить плоскость уровня П 0 , чтобы основание принадлежало этой плоскости. . A B П 0

S Зададим плоскость общего положения двумя пересекающимися прямыми, одна из которых - заданная АВ, а другую зададим через вершину S и точку на прямой АВ, например, через точку А ( можно задать любую другую точку на этой прямой). A B П 0

S Построим следы плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ), для чего найдем следы прямой S А (точка М). A B M П 0

S Построим следы плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ), для чего найдем следы прямой S А (точка М). И следы прямой АВ (точка Т). A П 0 B Т M

S Следом плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ) является прямая (отрезок) МТ. В этой же плоскости П 0 лежит основание конуса. A П 0 B Т M

Следом плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ) является прямая (отрезок) МТ. В этой же плоскости П 0 лежит основание конуса. S Отмечаем точки 1 и 2 взаимного пересечения основания конуса и следа плоскости МТ. A П 0 B Т M 2 1

Пересечением плоскости общего положения SАВ с поверхностью конуса являются две прямые S 1 и S 2. S A П 0 B Т M 2 1

Отрезки АВ, S 1 и S 2 принадлежат плоскости SМТ. Следовательно, точки D и Е (пересечение АВ с отрезками S 1 и S 2) являются точками пересечения АВ с поверхностью конуса. S A C D П 0 B Т M 2 1

Отрезки АВ, S 1 и S 2 принадлежат плоскости SМТ. Следовательно, точки D и Е (пересечение АВ с отрезками S 1 и S 2) являются точками пересечения АВ с поверхностью конуса. S A C D B Т M 2 1

S A C D B

S 2 Выполняем чертеж. A 2 B 2 S 1 A 1 B 1

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 B 2 S 1 A 1 B 1

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 2. Находим следы плоскости SАВ. Продолжаем S 2 А 2 до пересечения с осью Х и А 2 В 2 до пересечения с осью Х. B 2 M 2 S 1 A 1 B 1

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 2. Находим следы плоскости SАВ. Продолжаем S 2 А 2 до пересечения с осью Х и А 2 В 2 до пересечения с осью Х. B 2 M 2 S 1 A 1 B 1 T 2

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 2. Находим следы плоскости SАВ. Продолжаем S 2 А 2 до пересечения с осью Х и А 2 В 2 до пересечения с осью Х. B 2 M 2 S 1 A 1 M= M 1 B 1 T 2 T= T 1 3. Отмечаем: горизонтальный след прямой S А - точка М; горизонтальный след АВ - точка Т.

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 2. Находим следы плоскости SАВ. Продолжаем S 2 А 2 до пересечения с осью Х и А 2 В 2 до пересечения с осью Х. B 2 M 2 S 1 A 1 M= M 1 B 1 T 2 3. Отмечаем: горизонтальный след прямой S А - точка М; горизонтальный след АВ - точка Т. 4. Отрезок ТМ является горизонтальным следом плоскости SАВ T= T 1

S 2 Выполняем чертеж. 1. Задаем плоскость SАВ (S 2 А 2 и S 1 А 1). A 2 2. Находим следы плоскости SАВ. Продолжаем S 2 А 2 до пересечения с осью Х и S 1 А 1 до пересечения с осью Х. B 2 M 2 B 1 S 1 A 1 11 M= M 1 21 T 2 3. Отмечаем: горизонтальный след прямой S А - точка М; горизонтальный след АВ - точка Т. 4. Отрезок ТМ является горизонтальным следом плоскости SАВ T= T 1 5. Отмечаем точки пересечения горизонтального следа ТМ с основанием конуса (11 21 ).

S 2 6. Отрезки S 1 11 и S 121 являются проекциями линии пересечения поверхности конуса с плоскостью общего положения SАВ. A 2 B 2 M 2 B 1 S 1 A 1 11 M= M 1 21 T 2 T= T 1

S 2 6. Отрезки S 1 11 и S 121 являются проекциями линии пересечения поверхности конуса с плоскостью общего положения SАВ. A 2 B 2 M 2 S 1 A 1 11 M= M 1 D 1 B 1 E 1 21 T 2 7. Отмечаем точки взаимного пересечения построенных линий: S 111 с А 1 В 1 (точка D 1) и S 121 с А 1 В 1 (точка Е 1). Эти точки являются горизонтальными проекциями точек пересечения АВ с поверхностью конуса. T= T 1

S 2 8. Переносим точки D и Е на фронтальную плоскость. A 2 D 2 E 2 M 2 S 1 A 1 11 M= M 1 D 1 B 2 B 1 E 1 21 T 2 T= T 1

S 2 8. Переносим точки D и Е на фронтальную плоскость. A 2 D 2 9. Определяем видимость прямой. E 2 M 2 S 1 A 1 11 M= M 1 D 1 B 2 B 1 E 1 21 T 2 T= T 1