Пример 1. 1. Дана задача линейного программирования, требуется привести ее к канонической форме. Решение. 1. В канонической задаче линейного программирования целевая функция должна стремиться к максимуму. Поэтому перейдем к нахождению mах функции F 1(X) = - F(X). Имеем
2. Преобразуем систему к следующему виду: 3. Так как все ограничения являются неравенствами, то в каждое добавим дополнительные неотрицательные переменные х4, х5, х6. Система записывается в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные х4 и х6 вводятся в левую часть со знаком «+» , а во второе уравнение вводится х5 со знаком «—» . Итак, задача линейного программирования в канонической форме имеет вид:
Замечание. Приведение задачи линейного программирования к канонической форме используется при ее решении симплекс-методом.
Построение экономико- математических моделей Рассмотрим процесс построения моделей задач линейного программирования на примерах функционирования экономических объектов. Пример 1. 2. Задача планирования производства (задача об использовании ресурсов). Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов краски для внутренних и наружных работ. Краскапоступает в продажу по цене 3000 руб. и 2000 руб. за 1 т. Для производства красок используют два вида сырья: А и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 3 и 4 т соответственно. Расход сырья на производство 1 т красок приведен в табл. 1. 1. Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал спроса на краску для наружных работ более чем на 1, 5 т, а спрос на краску для внутренних работ не превышал 2 т в сутки. Какое количество краски каждого вида необходимо производить фабрике, чтобы доход от ее реализации был максимальным? Цена 1 т краски: для внутренних работ - 3000 руб. , для наружных - 2000 руб.
Таблица 1. 1 Решение. Представим методику построения экономико-математической модели задачи. Процесс построения экономико-математической модели задачи (т. е. запись ее с помощью математических символов) начинается с разбора описанной в условии экономической ситуации. Для этого необходимо, с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы: 1) что является искомыми величинами задачи? 2) какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например прибыль, себестоимость, время и т. д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к максимуму или к минимуму) для достижения наилучших результатов? 3) какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т. д. Только после ответа на все эти вопросы можно приступать к записи полученных ответов в математическом виде, т. е. к записи математической модели.
1. Искомые величины являются переменными задачи, которые, как правило, обозначаются малыми латинскими буквами с индексами. Например, однотипные переменные удобно представлять в виде X = (x 1, х2, …, хm). 2. Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой F(X). Математическая формула целевой функции F(X) отражает способ расчета значений параметра — критерия эффективности задачи. 3. Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т. е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения, взятые из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия. В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений. Построим модель задачи из примера 1. 2, используя представленную выше методику. 1. Переменные задачи. В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить, поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида красок: Х 1 — суточный объем производства краски для наружных работ (т краски / сутки); х2 - суточный объем производства краски для внутренних работ (т краски / сутки).
2. Целевая функция. В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции, т. е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т. е. х1 и х2 т краски в сутки, а также цены на краски для наружных и внутренних работ — согласно условию 2000 и 3000 руб. за 1 т краски соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски для наружных работ равен 2000 x 1 руб. в сутки, а от продажи краски для внутренних работ - 3000 х2 руб. в сутки. Поэтому запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок для наружных и внутренних работ (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок).
3. Ограничения. Возможные объемы производства красок х, и х2 ограничиваются следующими условиями: • количество сырья А и В, израсходованного в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе; • согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски для внутренних работ может превышать объем производства для наружных работ не более чем на 1, 5 т краски, а спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал 2 т краски в сутки; • объем производства красок не может быть выражен отрицательными значениями. Таким образом, все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные: 1) расходом сырья; 2) рыночным спросом на краску; 3) неотрицательностью объемов производства. Ограничения по расходу любого сырья имеют следующую содержательную форму записи:
Запишем эти ограничения в математической форме. Левая часть ограничения — это расчет суточного расхода конкретного ресурса на производство красок. Так, из условия известен рас ход сырья А на производство 1 т краски для наружных работ (0, 5 т сырья А) и 1 т краски для внутренних работ (1 т сырья А) (см. табл. 1. 1). Тогда на производство х1 т краски для наружных работ и х2 т краски для внутренних работ потребуется 0, 5 x 1 + 1 х2 т сырья А. Правая часть ограничения — это величина суточного запаса сырья на складе, например 3 т сырья А в сутки (см. табл. 1. 1). Таким образом, ограничение по расходу сырья А имеет вид: - Аналогична математическая запись ограничения по расходу сырья В.
Замечание. Следует всегда проверять размерность параметров левой и правой части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений. Ограничение по суточному объему производства краски для наружных работ по сравнению с объемом производства краски для внутренних работ имеет содержательную форму: и математическую форму: х2 — х1 < 1, 5. Ограничение по суточному объему производства краски для внутренних работ имеет содержательную форму: и математическую форму х2 ≤ 2. Неотрицательность объемов производства задается как х1 > > 0, х2 > 0.
Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:
Пример 1. 3. Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях). Для осуществления жизнедеятельности человеку среднего возраста ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг продукта, а также стоимость этих продуктов в магазине приведены в табл. 1. 2. Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее указанного количества необходимых питательных веществ и обеспечивающий минимальную стоимость закупаемых продуктов.
Скачать презентацию Пример 1 1 Дана задача линейного программирования требуется
Постановка задачи ЛП.pptx