Применение теории игр в политике и экономике Лекция

Применение теории игр в политике и экономике Лекция 3. Элементы теории вероятностей

Необходимое оборудование • Карты – Игра занимает меня сильно, — сказал Германн, но я не в состоянии жертвовать необходимым в надежде приобрести излишнее. А. С. Пушкин, «Пиковая дама» • Кости • Русская рулетка – Доктор, эти господа, вероятно второпях, забыли положить пулю в мой пистолет: прошу вас зарядить его снова, — и хорошенько. М. Ю. Лермонтов, «Княжна Мери»

Диаграммы Венна Событие Ã (не Ω A) A Событие А B Пересечение событий A и B A∩B Объединение событий A и B A B События A и B несовместимы, если A∩B= (пустое множество)

Вероятность события A df 1 (классическое) отношение числа m благоприятствующих событию A равновозможных исходов к общему числу всех элементарных, несовместимых и равновозможных исходов (N) испытания.

Вероятность: пример • Русская рулетка с 1 патроном в барабане (7 зарядный револьвер) – 7 элементарных несовместимых исходов – элементарные исходы равновозможны

Свойства вероятности

Вероятность события A df 2 (частотное) предел отношения числа m испытаний, при котором произошло событие A, к общему числу (N) испытаний, при N .

Вероятность: пример NB Расчет вероятности в русской рулетке по частотному определению может быть весьма дорогостоящим! (Pчеловеческая жизнь ) • Испытания систем вооружения (артиллерия, стрелковое оружие и боеприпасы, ракетная техника – до 1970 -х гг. ) – – – отстреляно 3000 патронов 5 осечек вероятность осечки 5/3000=0, 1(6)%

Вероятность события A df 3 (субъективное) степень рациональной уверенности в том, что событие может произойти

Взаимоисключающие события df появление одного события в испытании достоверно препятствует появлению другого события в том же испытании • Пример: – выпадение решетки и – зависание монеты в воздухе

Свойства вероятности N исходов Ω Событие А m исходов

Условная вероятность N исходов m исходов A B k исходов • Какова вероятность того, что z исходов событие A произошло, если мы знаем, что событие B произошло? NB Нам нужно думать не о всех исходах, а только о тех, что входят в событие B

Правило умножения A P(A|B) B P(B) • Как можно вычислить вероятность пересечения событий A и B, имея данные о P(A|B) и P(B)?

Сложение вероятностей N исходов m исходов A B k исходов • Какая вероятность z исходов появления одного из событий A и B или обоих событий сразу?

Формула Байеса • Как извлечь информацию из наблюдений случайных событий? • Вероятность посылки 3 авианосцев в Корейское море, если: – США решили разобраться с КНДР – США решили не трогать КНДР — 70% — 20% • Оценка вероятности кризиса — 60% • 3 авианосца обнаружены. Какая вероятность кризиса с учетом этого факта?

Формула Байеса

Формула Байеса • • • A — посылка 3 авианосцев B 1 — США решили разобраться с КНДР B 2 — США решили не трогать КНДР P(B 1)=60% P(B 2)=1 -P(B 1)=40% P(A|B 1)=70%; P(A|B 2)=20%

Формула Байеса • До поступления сведений мы оценивали кризис как в принципе возможный (60%) • После появления новой информации мы видим, что кризис весьма вероятен (84%)

Случайная величина df Переменная, случайно принимающая численные значения с определенной вероятностью каждого значения • Температура в Москве в полдень (в определенной точке) • Число абитуриентов на ФМП • Средняя оценка курса на экзамене • Число голосов, поданных за Дж. Буша в шт. Орегон «Сколько бюллетеней напечатали, столько и подали» А. Вешняков (из неопубликованного)

Распределение (дискретной) случайной величины Очки на игральной кости i (№ п/п) p(X=xi) xi 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1 2 3 4 5 6

Математическое ожидание случайной величины • • На ФМП организовано казино «Счастливый случай» Хорошо перетасованная колода карт (52) Берется 1 карта ФМП платит – за A 100 р. – за K 8 р. • Студент платит – за Q 80 р. – за любую другую карту 1 р. • Какой доход (в среднем) ожидает ФМП с одного честного студента?

Математическое ожидание (дискретной) случайной величины df Сумма произведений значений случайной величины на вероятность появления этого значения

Полезность фон Неймана-Моргенштерна (1944) df математическое ожидание случайной полезности (выигрыша) субъекта • Предполагается, что в ситуациях с риском и неопределенностью субъекты будут максимизировать именно ее • Допущения — нейтральность к риску, многократность повторения ситуации – игроку безразлично, играть ли в лотерею {10 р. (1/10); -1 р. (9/10)} или получить 1 р. наверняка NB Для однократного выбора не всегда приемлемо

Неопределенность Границы вероятности [0%; 100%] Знания нет [0%; 0%] Утверждение ложно [100%; 100%] Утверждение истинно [65%; 100%] Частичная поддержка истинности [0%; 75%] Частичное опровержение [65%; 75%] Частичные поддержка и опровержение [65%; 65%] Известная вероятность

Задания на дом • В хорошо перетасованной колоде 52 карты. Какая вероятность того, что Вы вытянете девятку? туз? карту красной масти? пиковую даму? • Из колоды в 52 карты случайным образом взята карта. Вам сказали, что она трефовой масти. Какая вероятность того, что это тройка? • Пять монет одновременно брошены на стол. Какая вероятность выпадения не менее одного "орла"? Какая вероятность появления двух и более "орлов"?

Задания на дом В том же вбросе 5 монет факультет обещает выплачивать Вам за появление каждого "орла" по 34 копейки, а Вы обещаете выплачивать факультету за появление каждой "решетки" по 21 копейке. Какой Ваш ожидаемый выигрыш от одного вброса?

Задания на дом На Вашем письменном столе лежат россыпью тетради с обложкой 2 цветов: салатового и темно-синего, причем каждая тетрадь посвящена одному учебному предмету, но название предмета на обложке не написано. Вы знаете, что конспекты по историко-политологическим дисциплинам есть в 5 тетрадях салатового цвета и 3 темно-синего, по экономическим предметам — в 4 салатовых и 6 темносиних, по языкам — в 2 салатовых и 2 темно-синих. Собираясь на занятия, Вы взяли одну тетрадь наобум. – С какой вероятностью Вам попадется тетрадь по иностранному языку? – Тетрадь салатового цвета? – Посмотрев на тетрадь, Вы видите, что она темно-синего цвета. Какая вероятность того, что Вы взяли конспект по одному из экономических предметов?