Скачать презентацию Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с Скачать презентацию Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с

835878011f6bb4ab8e1089b488ab3b2b.ppt

  • Количество слайдов: 20

Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с параметром Авторы: Сулейманов М. Г. Колесникова Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с параметром Авторы: Сулейманов М. Г. Колесникова Л. С.

Существует много задач с параметрами, связанных с квадратным трехчленом. При их решении наряду с Существует много задач с параметрами, связанных с квадратным трехчленом. При их решении наряду с теоремой Виета весьма полезным оказывается следующее свойство непрерывных функций: непрерывная и не обращающаяся в нуль на интервале (a; b) функция сохраняет на нем постоянный знак. Следствием этого утверждения является следующее свойство: если функция f(x) является непрерывной на интервале (a; b) и в какихто точках х и х Є(a; b) принимает значения разных знаков, то между х и х находится хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Для решения квадратных уравнений с параметром полезно запомнить следующие правила: 1 2

1. Корни квадратного трехчлена ax²+bx+c имеют одинаковые знаки тогда и только тогда, когда одновременно 1. Корни квадратного трехчлена ax²+bx+c имеют одинаковые знаки тогда и только тогда, когда одновременно выполнены 2 условия: D > 0, c·a > 0.

2. Чтобы ах²+bх+с=0 имело корни разных знаков, необходимо и достаточно: с·а<0 х ·х <0. 2. Чтобы ах²+bх+с=0 имело корни разных знаков, необходимо и достаточно: с·а<0 х ·х <0. 1 2

3. Чтобы число p находилось между корнями квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c , необходимо и достаточно 3. Чтобы число p находилось между корнями квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c , необходимо и достаточно выполнения неравенства a·f(p)<0

4. Пусть х и х (х <х )-корни квадратного 1 2 трехчлена f(x)= ах²+bх+с. 4. Пусть х и х (х <х )-корни квадратного 1 2 трехчлена f(x)= ах²+bх+с. Чтобы выполнилось неравенство х 0 a·f(p)>0 p>-b/2 a

5. Чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x)= ах²+bх+с лежали между точками m и n 5. Чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x)= ах²+bх+с лежали между точками m и n необходимо и достаточно выполнения условий D >0 a·f(n)>0 n>-b/2 a af(m) >0 m < -b/2 a

6. Пусть заданы два числа m<n. Для того чтобы корни квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c лежали 6. Пусть заданы два числа m

Пример 1. При каком значении параметра a уравнение (а+1)х²+2 ах+а+3=0 имеет два различных положительных Пример 1. При каком значении параметра a уравнение (а+1)х²+2 ах+а+3=0 имеет два различных положительных корня? Решение D>0 a²-(a+1)(a+3) >0 4 a<-3 x +x >0 >0 <0 x ·x >0 >0 >0 Ответ: (-1; - ). 1 1 2 2

Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 p=0 имеет два различных положительных корня. Решение Если р=3, то уравнение имеет единственный корень. Это противоречит условию задачи. Пусть р≠ 3. Рассмотрим 2 случая. 1) Пусть р-3>0 -ветви параболы f(x)=(p-3)x²-4 px+8 p

Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 p=0 имеет два различных положительных корня. Решение. D>0 D=16 p²-32 p(p-3)=16 p(6 -p) > 0 a·c>0 a·c=8 p(p-3) > 0 x +x >0 x +x =4 p >0 Ответ: pЄ(3; 6) 1 2

Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, а другой отрицателен? Решение

Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, а другой отрицателен? Решение Воспользуемся правилом 2 a·c<0. 8 a+28<0, 8 a<-28, a<-3, 5 Ответ: при a<-3, 5

Вариант 3. 22. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях m прямая Вариант 3. 22. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях m прямая y=2 m имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: одз: x≠± 5. y=-1, 2 m=-1, m=При x=± 5 значение выражения х²-1 равно 24 и прямая у=24 не имеет общих точек с графиком функции. Ответ: при m=-

В. № 1. 22. Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая В. № 1. 22. Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком функции только одну общую точку. Решение. Разложим числитель дроби на множители. Получим =(x-2)(x+2)(x-3)(x+3). Сократим дробь на х-2≠ 0 и на х+3≠ 0 y=(x+2)(x-3)=x²-x-6. Построим график полученной функции. Найдем координаты вершины параболы m=-b/2 a =0, 5; n=-6, 25. Т. п. с осью ох: -2 и 3 Из графика видно, что прямая y=с имеет одну общую точку при с=-6, 25; с=-4; с=6. Ответ: -6, 25; -4; 6.

Вариант16. 22 Параболы x²+y=c² и y=x²-(c-2)x+c касаются. Найдите координаты точки касания. Решение: y=-x²+c²; y=x²-(c-2)x+c. Вариант16. 22 Параболы x²+y=c² и y=x²-(c-2)x+c касаются. Найдите координаты точки касания. Решение: y=-x²+c²; y=x²-(c-2)x+c. -x²+c²=x²-(c-2)x+c, -2 х²+(с-2)х+с²-с=0, 2 х²-(с-2)х-(c²-c)=0. Д=с²-4 с+4+8 с²-8 с=9 с²-12 с+4=(3 с-2)². Д=0 при c= . y=-x² + 9 х²+6 х+1=0, (3 х+1)²=0, x=- , y=- + ; у=х²+1 = . . x+ , 2 х² + Ответ: (- ; ) x+ =0,

Постройте график функции и Вар. № 14 определите, при каких значениях m прямая y=m Постройте график функции и Вар. № 14 определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с этим графиком ровно три общие точки. Решение: 1. построим график функции y = f(x) для x ≥ 0; 2. отобразим построенную часть графика симметрично относительно оси ординат; При x=1 f(x) не определена 3. участки полученного графика, Горизонтальная прямая лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразим относительно этой оси. Ответ: 1; 2. y=m имеет с графиком функции ровно три общие точки при m=1 и m=2.

Вар. № 5. 22. Постройте график функции y=(x³-4 x²+x+6)/(x+1) и определите, при каких значениях Вар. № 5. 22. Постройте график функции y=(x³-4 x²+x+6)/(x+1) и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. разложим числитель дроби на множители. x³-4 x²+x+6=x³-5 x²+6 x+x²-5 x+6=x(x²-5 x+6)+x²-5 x+6= (x²-5 x+6)(x+1). 2. x³-4 x²+x+6 =(x²-5 x+6)(x+1). Получим y=x²-5 x+6, x≠-1. Из графика видно, что c=-0, 25 и c=12. Ответ: -0, 25; 12.

Дидактический материал для учащихся. 1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых Дидактический материал для учащихся. 1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х² +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2]. 2. При каких значениях параметра a уравнение х²-(2 а-1)х+1 -а=0 имеет два различных положительных корня? 3. При каких значениях параметра а уравнение х²-(2 а-6)+3 а+9=0 имеет корни разных знаков? 4. Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения х²+(а+1)х-2 а(а-1)=0 меньше, чем 1. 5. Найдите все значения параметра а, при которых один из корней уравнения х²-2(а+1)х+4 а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1? 6. При каких значениях параметра а уравнение 2 х²+(3 а+1)х+а²+а=2=0 имеет хотя бы один корень? 7. При каких значениях параметра а уравнение (а²+а+1)х²+ (2 а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1? 8. При каких значениях параметра a корни уравнения (а-1)х²-2 ах+а=3=0 положительны? 9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х²-2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра a корни уравнения х²-2 ах+(а+1) • (а-1)=0 принадлежат отрезку 10. При каких значениях параметра a корни уравнения х²-2 ах+(а+1) • (а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]? 11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х² +(а+1)х-а²=0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2? 12. При каких значениях параметра a уравнение х²-4 х+(2 -а) • (2+а)=0 имеет корни разных знаков? 13. При каких значениях параметра а уравнение х²+2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня? 14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2 -а)х²-3 ах+2 а=0 больше 1/2? 15. При каких значениях параметра a все корни уравнения х²-2 ах+а²-а=0 расположены на отрезке [-2; 6]? 16. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения х²-2 ах+2(а+1)=0 равна 20? 17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х²-2 а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней? 18. При каких значениях параметра a все получающиеся корни уравнения (а-3)х²-2 ах+6 а=0 положительны? 19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х²-3 ах+4 а=0 больше 1?