Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с

Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач с параметром Авторы: Сулейманов М. Г. Колесникова Л. С.

Существует много задач с параметрами, связанных с квадратным трехчленом. При их решении наряду с теоремой Виета весьма полезным оказывается следующее свойство непрерывных функций: непрерывная и не обращающаяся в нуль на интервале (a; b) функция сохраняет на нем постоянный знак. Следствием этого утверждения является следующее свойство: если функция f(x) является непрерывной на интервале (a; b) и в какихто точках х и х Є(a; b) принимает значения разных знаков, то между х и х находится хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Для решения квадратных уравнений с параметром полезно запомнить следующие правила: 1 2

1. Корни квадратного трехчлена ax²+bx+c имеют одинаковые знаки тогда и только тогда, когда одновременно выполнены 2 условия: D > 0, c·a > 0.

2. Чтобы ах²+bх+с=0 имело корни разных знаков, необходимо и достаточно: с·а<0 х ·х <0. 1 2

3. Чтобы число p находилось между корнями квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c , необходимо и достаточно выполнения неравенства a·f(p)<0

4. Пусть х и х (х <х )-корни квадратного 1 2 трехчлена f(x)= ах²+bх+с. Чтобы выполнилось неравенство х 0 a·f(p)>0 p>-b/2 a

5. Чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x)= ах²+bх+с лежали между точками m и n необходимо и достаточно выполнения условий D >0 a·f(n)>0 n>-b/2 a af(m) >0 m < -b/2 a

6. Пусть заданы два числа m

Пример 1. При каком значении параметра a уравнение (а+1)х²+2 ах+а+3=0 имеет два различных положительных корня? Решение D>0 a²-(a+1)(a+3) >0 4 a<-3 x +x >0 >0 <0 x ·x >0 >0 >0 Ответ: (-1; - ). 1 1 2 2

Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 p=0 имеет два различных положительных корня. Решение Если р=3, то уравнение имеет единственный корень. Это противоречит условию задачи. Пусть р≠ 3. Рассмотрим 2 случая. 1) Пусть р-3>0 -ветви параболы f(x)=(p-3)x²-4 px+8 p

Вариант 9. 22. Найти все значения p, при каждом из которых уравнение (p-3)x²-4 px+8 p=0 имеет два различных положительных корня. Решение. D>0 D=16 p²-32 p(p-3)=16 p(6 -p) > 0 a·c>0 a·c=8 p(p-3) > 0 x +x >0 x +x =4 p >0 Ответ: pЄ(3; 6) 1 2

Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, а другой отрицателен? Решение

Вариант10. 22. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x²-4(a+2)x+8 a+28=0 положителен, а другой отрицателен? Решение Воспользуемся правилом 2 a·c<0. 8 a+28<0, 8 a<-28, a<-3, 5 Ответ: при a<-3, 5

Вариант 3. 22. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях m прямая y=2 m имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: одз: x≠± 5. y=-1, 2 m=-1, m=При x=± 5 значение выражения х²-1 равно 24 и прямая у=24 не имеет общих точек с графиком функции. Ответ: при m=-

В. № 1. 22. Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком функции только одну общую точку. Решение. Разложим числитель дроби на множители. Получим =(x-2)(x+2)(x-3)(x+3). Сократим дробь на х-2≠ 0 и на х+3≠ 0 y=(x+2)(x-3)=x²-x-6. Построим график полученной функции. Найдем координаты вершины параболы m=-b/2 a =0, 5; n=-6, 25. Т. п. с осью ох: -2 и 3 Из графика видно, что прямая y=с имеет одну общую точку при с=-6, 25; с=-4; с=6. Ответ: -6, 25; -4; 6.

Вариант16. 22 Параболы x²+y=c² и y=x²-(c-2)x+c касаются. Найдите координаты точки касания. Решение: y=-x²+c²; y=x²-(c-2)x+c. -x²+c²=x²-(c-2)x+c, -2 х²+(с-2)х+с²-с=0, 2 х²-(с-2)х-(c²-c)=0. Д=с²-4 с+4+8 с²-8 с=9 с²-12 с+4=(3 с-2)². Д=0 при c= . y=-x² + 9 х²+6 х+1=0, (3 х+1)²=0, x=- , y=- + ; у=х²+1 = . . x+ , 2 х² + Ответ: (- ; ) x+ =0,

Постройте график функции и Вар. № 14 определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с этим графиком ровно три общие точки. Решение: 1. построим график функции y = f(x) для x ≥ 0; 2. отобразим построенную часть графика симметрично относительно оси ординат; При x=1 f(x) не определена 3. участки полученного графика, Горизонтальная прямая лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразим относительно этой оси. Ответ: 1; 2. y=m имеет с графиком функции ровно три общие точки при m=1 и m=2.

Вар. № 5. 22. Постройте график функции y=(x³-4 x²+x+6)/(x+1) и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. разложим числитель дроби на множители. x³-4 x²+x+6=x³-5 x²+6 x+x²-5 x+6=x(x²-5 x+6)+x²-5 x+6= (x²-5 x+6)(x+1). 2. x³-4 x²+x+6 =(x²-5 x+6)(x+1). Получим y=x²-5 x+6, x≠-1. Из графика видно, что c=-0, 25 и c=12. Ответ: -0, 25; 12.

Дидактический материал для учащихся. 1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х² +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2]. 2. При каких значениях параметра a уравнение х²-(2 а-1)х+1 -а=0 имеет два различных положительных корня? 3. При каких значениях параметра а уравнение х²-(2 а-6)+3 а+9=0 имеет корни разных знаков? 4. Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения х²+(а+1)х-2 а(а-1)=0 меньше, чем 1. 5. Найдите все значения параметра а, при которых один из корней уравнения х²-2(а+1)х+4 а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1? 6. При каких значениях параметра а уравнение 2 х²+(3 а+1)х+а²+а=2=0 имеет хотя бы один корень? 7. При каких значениях параметра а уравнение (а²+а+1)х²+ (2 а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1? 8. При каких значениях параметра a корни уравнения (а-1)х²-2 ах+а=3=0 положительны? 9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х²-2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра a корни уравнения х²-2 ах+(а+1) • (а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]? 11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х² +(а+1)х-а²=0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2? 12. При каких значениях параметра a уравнение х²-4 х+(2 -а) • (2+а)=0 имеет корни разных знаков? 13. При каких значениях параметра а уравнение х²+2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня? 14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2 -а)х²-3 ах+2 а=0 больше 1/2? 15. При каких значениях параметра a все корни уравнения х²-2 ах+а²-а=0 расположены на отрезке [-2; 6]? 16. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения х²-2 ах+2(а+1)=0 равна 20? 17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х²-2 а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней? 18. При каких значениях параметра a все получающиеся корни уравнения (а-3)х²-2 ах+6 а=0 положительны? 19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х²-3 ах+4 а=0 больше 1?