ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ ЗАДАЧА

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ

ЗАДАЧА № 1 Выведем свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике. Поверхность, получающаяся при вращении параболы y = ax 2 вокруг оси Oy, называется параболоидом вращения. Представим себе, что внутренняя поверхность параболоида – зеркальная поверхность и это параболическое зеркало освещается пучком лучей света, параллельных оси Oy. y Рассмотрим сечение этого зеркала плоскостью α, проходящей через ось Oy. Это сечение представляет собой такую же параболу y = x 2 (ось Ox выбираем в плоскости сечения, а=1). Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости α, причем этот луч образует с касательной к параболе такой же угол, как и падающий луч MA. y = x 2 M A F 0 x

Докажем, что все лучи, параллельные оси Oy, после отражения пересекутся в одной точке оси Oy. Обозначим через F точку пересечения y = x 2 произвольного отраженного луча с осью Oy. Прямая AT – касательная к параболе в точке A. Из законов отражения света сразу следует, что ∟TAM=∟FAP. Но луч MA параллелен оси Oy, поэтому ∟FPA=∟TAM. Следовательно, ∟FPA=∟FAP, т. е. треугольник FPA равнобедренный и FA=FP. Точка A (x 0; y 0) лежит на параболе, поэтому y 0=x 02. уравнение касательной AT имеет вид y 0=2 x 0 x-x 02. из него найдем ординату yp точки P. Она равна yp =2 x 0∙ 0 -x 02, т. е. yp =-y 0. Если ординату точки F обозначить через y, то FP=y+y 0. Длина , и поэтому (т. к. FA=FP) верно равенство (y+y 0)2=x 02+(y 0 -y)2 , т. е. y 2+2 yy 0+y 02=y 0+y 02 -2 yy 0+y 2 , откуда 4 yy 0=y 0 , и, поскольку y 0 ≠ 0, получаем. Итак, все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического зеркала(точку F также называют фокусом параболы y = x 2 ). y M A F 0 x P

На этом свойстве основано устройство параболических телескопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить световой сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе создания параболических антенн, позволяющих усилить радиосигналы. Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узенький пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала которых изготавливают в форме параболоидов.

ЗАДАЧА № 2 Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2 t 3+t-1. найдите ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно: а)1 см/с2; б)2 см/с2 ? (x(t)- перемещение в сантиметрах, tвремя в секундах. ) Решение: По определению производной a=v’(t), а v(t)=x’(t). Тогда x’(t)=6 t 2+1 => v(t)=6 t 2+1(см/с)=> a=v’(t)=12 t(см/с2); а) (с); б) (с). Ответ: а) с; б) с.

ЗАДАЧА № 3 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t 2+t+1. координата x измеряется в сантиметрах, время t- в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинетическую энергию E тела через 2 с после начала движения. Решение: F=ma, По определению производной a=v’(t), а v(t)=x’(t). Тогда v(t)=x’(t)=2 t+1(см/с) => a=v’(x)=2(см/с2)=0, 02(м/с2). Следовательно, F=2∙ 0, 02=0, 04(Н) (Дж) Ответ: F=0, 04 H; E=0, 0025 Дж.