Применение производной Докладчик Яценко Людмила Викторовна Научный руководитель

Применение производной Докладчик: Яценко Людмила Викторовна. Научный руководитель: Аносов Виктор Петрович.

История возникновения дифференциального исчисления В конце 17 века английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь s(t) и скорость v(t) связаны между собой формулой: v(t)=s´(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией и техническими науками

История дифференциального исчисления Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т. е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси Оx.

История дифференциального исчисления В общих чертах построение дифференциального исчисления было завершено в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница к концу 17 в. , однако вопросы обоснования с помощью понятия предела были разработаны О. Коши лишь в начале 19 в. Создание дифференциального исчисления является началом периода бурного развития математики.

Применение производной в различных сферах жизни Физика Применение производной в физике очень обширно. Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость:

Электротехника В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду используется электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. I=q’(t)

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т. е. C(t) = Q (t) Пример Пусть Q ( t )-количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг, от 00 С до температуры t 0 (по Цельсию). Известно, что в диапазоне 00 до 950, формула Q ( t ) = 0, 396 t + 2, 081 10 -3 t 2 - 5, 024 10 -7 t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение. C ( t ) = Q ( t ) = 0, 396 + 4, 162*10 -3 t – 15, 072*10 -7 t 2

Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Она изучает закономерности протекания различных реакций. И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Таблица понятий Понятие на языке химии Количество вещества в момент t 0 Интервал времени Изменение количества вещества Средняя скорость химической реакции Обозначение c = c(t) ∆t = t 2 – t 1 ∆c = c(t+ t ) – c(t) Понятие на языке математики функция приращение аргумента Приращение функции Отношение приращения функции к приращению аргумента

Биология Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x( t ) Функция Интервал времени ∆t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Относительный прирост в данный момент Отношение приращения функции к приращению аргумента

Экономика В особенности применение производной востребовано в экономике. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Сельское хозяйство, животноводство Усилению политехнической и трудовой направленности обучения математике способствует решение задач практического характера. Многие из этих задач сводятся, как известно, к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на некотором промежутке.

Деревообработка Важное народнохозяйственное значение имеет рациональный раскрой древесины. Комплексное решение таких задач требует применения довольно глубоких методов классической и современной математики. Однако отдельные задачи такого рода можно решить, используя только производную

Строительство При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Для того чтобы получит нужные расчеты, мы и здесь применяем производную.

Транспорт В практике проектирования сети автомобильных дорог часто возникает необходимость устройства узла разветвления. Местоположение узла и взаимное расположение проходящих через него дорог определяется комплексом экономических и географических условий, но первый, предварительный этап решения этой задачи учитывает лишь затраты рабочего времени на перевозки, вследствие чего не обойтись без производной

Задачи

Защита Задача № 1. Дан равнобедренный треугольник со сторонами а. Найти наибольшую площадь треугольника. Решение: Запишем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника:

Рассмотрим треугольник АВС, Выведем несколько соотношений, которые в дальнейшем нам помогут при решении задачи : 1. В a a A C , тогда K

2. Рассмотрим треугольник KBC: , при В К , тогда из AKB следует: Преобразовав это выражение, получим S= С

Возьмем производную, и приравняем её к нулю: =0, Исследуем функцию на экстремум: x f '( ) f( ) (0, ) + ( , 0 - )

Ответ Воспользуемся первым достаточным условием экстремума функции: Пусть xо - критическая точка. Если f ( x ) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Вывод: наибольшая площадь треугольника будет достигаться тогда, когда угол будет равен

Что больше ? Решение: предположим Прологарифмируем выражение : Введем функцию f(x) = , x >0 найдем производную f '(x)= Приравняем f '(x)=0 , найдем точки x=0; x=e, но x=0∉(0; +∞), поэтому одна критическая точка x=e.

на заданном интервале найдем экстремум, что будет и соответственно ответом x (0; e] e [e; +∞) f '(x) + 0 - f(x) Ответ: точка e является точкой локального максимума на всем промежутке (0; +∞), отсюда сделаем вывод, так как e<

Что больше ? Аналогично предыдущему заданию сравним величины Предположим Прологарифмируем Введем функцию: Найдем производную: f '(x)= , найдем точки x=0; x=e, но x=0∉(0; +∞), поэтому одна критическая точка x=e.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f x (0; e) e (e; +∞) f '(x) + 0 - f(x) Ответ: так как 100 и 101∊ (0; +∞) и функция строго убывает на этом интервале и 100<101, то отсюда следует, что:

Заключение В заключении хотелось бы еще раз подчеркнуть важность изучения темы «Применение производной", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать, как простые, так и сложные задачи.

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» . Ф. Энгельс

Спасибо за внимание =)