ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Определение оригинала по изображению

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Определение оригинала по изображению. Теоремы разложения Если известно изображение, то оригинал может быть найден тремя путями: • с помощью таблицы оригинал – изображение; • с помощью теоремы свёртки в области оригинала; • путём осуществления обратного преобразования Лапласа по формуле обращения с применением теории вычетов. Продемонстрируем первый путь на конкретном примере

• Пример 10. Пусть дано изображение и требуется найти оригинал f(t), соответствующий этому изображению Разложим изображение на элементарные дроби:

Таким образом, Из таблицы оригинал – изображение тогда сам оригинал

График функции (оригинала) f(t)

Пример получения оригинала по заданному изображению с помощью свёртки был приведён ранее (см. пример 10). Вычисление интеграла (4) удобно производить с помощью вычетов. Пусть функция F(p) является изображением, то есть она аналитична в полyплоскости Rep > c 0, стремится к нулю при | p |→∞ в любой полуплоскости Rep ≥ c > c 0 равномерно относительно argp, и интеграл (4) абсолютно сходится. Пусть, кроме того, функция F(p) при Rep < c 0 имеет конечное число особых точек – полюсов.

Функция F(p) удовлетворяет условиям леммы Жордана, тогда интеграл вычисленный по прямой, параллельной мнимой оси, сходится к контурному интегралу, где контур интегрирования состоит из указанной прямой и дуги бесконечно большого радиуса. Применяя теорему о вычетах, получим где p = pk – полюсы функции .

Т. к. изображение F(p) аналитично при Rep > c 0, то полюсы лежат левее прямой Rep = c 0. Пусть изображение является рациональной функцией, то есть представляет собой отношение двух многочленов причем m < n и коэффициенты a и b – вещественные числа. Вычислив корни знаменателя, представим это выражение в виде: где kl – кратность корня, причем

Принимая во внимание формулу о вычете относительно кратного полюса, получим: (27) Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть теперь все корни знаменателя A(p) изображения F(p) будут простыми (не кратными), то есть kl = 1. Тогда следовательно для простых полюсов изображения F(p) (28)

где A'(pi) – производная многочлена A(p), взятая в точке p = pi. Если в выражении A(p) присутствует один нулевой корень, т. е. , где то формула (28) приобретает вид: (29) Формулы (27) - (29) позволяют получить оригинал по соответствующему изображению, причем это изображение должно иметь вид рациональной дроби. В этом случае получение оригинала сводится к определению полюсов функции F(p) и, в зависимости от характера этих полюсов, применить какую-либо из указанных формул. Эти формулы называются теоремами (формулами) разложения.

Пример 11. Найти оригинал для изображения используя теоремы разложения. Изображение содержит простой нулевой полюс и два простых ненулевых полюса поэтому применим формулу (29). Здесь тогда

Теоремы (формулы) разложения являются универсальным средством для определения оригинала по известному изображению, однако иногда их применение затруднительно и громоздко, особенно в тех случаях, когда полюсы функции F(p) представляют собой комплексные числа. В таких случаях оказывается более удобным использовать свойства прямого и обратного преобразований Лапласа совместно с таблицей «оригинал – изображение» по Лапласу.

Формулы (27) - (29) целесообразно применять при работе с математическими пакетами на персональных компьютерах, где реализованы алгоритмы численного определения корней полиномов высокой степени (до n = 19).

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами С помощью преобразования Лапласа можно весьма просто производить решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. теорему 8) Заменяя производную на pn. F(p) и учитывая начальные условия, можно получить функцию Φ(p), для которой с помощью таблицы преобразования Лапласа, свертки в области оригиналов или формул разложения может быть получен оригинал, то есть решение дифференциального уравнения.

• Пример 12. Решить дифференциальное уравнение: Ранее, в примере 8, при рассмотрении теоремы о дифференцировании оригиналов было получено изображение этого уравнения: Разложим изображение на элементарные дроби и найдём оригиналы для каждого из слагаемых: Числитель изображения

т. е. отсюда Таким образом, Поскольку

то оригинал Производные от оригинала: • Проверка начальных условий: Начальные условия совпали с заданными. • Проверка решения: Получено тождество!

Применение формулы (интеграла) Дюамеля Часто получение изображения функции f(t) в дифференциальном уравнении затруднительно. Рассмотрим один из возможных вариантов решение этой задачи. Пусть дано уравнение (30) и заданы нулевые начальные условия Пусть также есть уравнение (31) и аналогично Операторная форма записи уравнений (30), (31) будет иметь вид

(32) где Решая систему уравнений (32), будем иметь: Но при , поэтому (33) или (34)

Формулы (33), (34) называются формулой или интегралом Дюамеля. • Пример 13. Найти решение уравнения при Для уравнения при нулевых начальных условиях изображение X 1(p) определится из операторного уравнения и будет иметь вид:

Определим коэффициенты A, B и C: отсюда Тогда Решение заданного уравнения найдется по формуле (33) Дюамеля:

• П р о в е р к а н а ч а л ь н ы х у с л о в и й. Производная от полученного решения Решение удовлетворяет заданным начальным условиям.

Понятие передаточной функции Пусть задано устройство, описываемое системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, на вход которого подано воздействие x(t). Пусть устройство не обладает начальным запасом энергии, т. е. начальные условия по внутренним переменным и их производным – нулевые. Система из n линейных дифференциальных уравнений может быть представлена линейным дифференциальным уравнением n-ой степени вида:

(35) где коэффициенты, причём Пусть – постоянные тогда, с учётом нулевых начальных условий, операторная форма записи уравнения (35) будет иметь вид

Возьмём отношение • Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией W(p) устройства или системы. Понятие передаточной функции является основополагающим при исследовании линейных непрерывных или импульсных систем автоматического управления.