«Применение определённого интеграла для вычисления объёмов тел. » Работу выполнил Учащийся 11 класса МОУ СОШ с. Терновка Крюков Сергей
• Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. И чтобы хорошо понять данный материал, надо конечно же быть подготовленным : необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. • В интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое.
• Представим некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Данную фигуру можно вращать двумя способами: • – вокруг оси абсцисс ; • – вокруг оси ординат. • Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс • Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX
Пример 1 • Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, • ограниченной линиями , y = 0 вокруг оси OX. Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось. Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси OX. В результате вращения получается такая «летающая тарелка» , которая симметрична относительно оси.
Объем тела вращения можно вычислить по формуле: В формуле перед интегралом обязательно присутствует число. Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. q В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.
• Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу: Ответ:
Скачать презентацию Применение определённого интеграла для вычисления объёмов тел
616209.pptx