Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ 7 Методи за булева

Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ 7 Методи за булева и дискретна оптимизация Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph. D. Email: bivanov@bas. bg Institute of Chemical Engineering-BAS

Лекции Лекция 1 Въведение в математичното програмиране Лекция 2 Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър Лекция 3 Нелинейно програмиране – Градиентни методи Лекция 4 Нелинейно програмиране – Директни методи Лекция 5 Нелинейно програмиране – Методи с ограничения Лекция 6 Линейно програмиране Лекция 7 Методи за булева и дискретна оптимизация Лекция 8 Методи за глобална оптимизация Лекция 9 Методи за многоцелева оптимизация

План на лекцията 1. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи 1. 1. Линейни целочислени задачи 1. 2. Линейни задачи с булеви променливи 1. 3. Линейни задачи със смесен тип променливи 1. 4. Нелинейни задачи със смесен тип променливи 2. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи 2. 1. Метод на локалното търсене 2. 2. Метод на случайното търсене 2. 3. Симплексен метод

Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни целочислени задачи – обща постановка Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn Subject to (s. t. ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn b 2 … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn bm x 1 0, x 2 0, …, xn 0 - са цели числа

Пример на задача LIP Оптимално LP решение Оптималноx решение LIP 2 x 1 = 2 x 2 3 3 = ZIP* = 102 Max Z = 33 x 1 + 12 x 2 s. t. –x 1 + 2 x 2 4 2 5 x 1 + 2 x 2 16 2 x 1 – x 2 4 Приблизително LP решение x 1, x 2 0 са цели числа = 2 x 1 1 x 2 = 1 ZRLP* = 78 1 x 1 = 8/3 x 2 = 4/3 ZLP* = 104 Възможно и оптимално НЕвъзможно, субоптимално Възможно, НЕ оптимално x 1 5 2

Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни задачи с булеви променливи – обща постановка Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn Subject to (s. t. ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn b 2 … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn bm x 1 0, x 2 0, …, xn 0 - са булеви

Пример на задача LIP Оптимално LP решение x 2 Max Z = 33 x 1 + 12 x 2 3 s. t. –x 1 + 2 x 2 4 2 5 x 1 + 2 x 2 16 2 x 1 – x 2 4 LIP решение Оптимално x 1 = x 1, x 2 0 са булеви 1 1 x 2 = 1 ZIP* = 45 Приблизително LP решение x 1 = 1 x 2 = 0 ZRLP* = 33 x 1 = 8/3 x 2 = 4/3 ZLP* = 104 1 2 x 1 7

Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn Subject to (s. t. ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn b 2 … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn bm x 1 0, x 2 0, …, xn 0

Пример на задача LIP Оптимално LP решение x 2 x 1 = 8/3 x 2 = 4/3 ZLP* = 104 Max Z = 33 x 1 + 12 x 2 3 s. t. Оптимално LIP решение –x 1 + 2 x 2 4 = 1 x 1 2 5 x 1 + 2 x 2 16 2 x 2 = 2 x 1 – x 2 Z 4 = LP решение * Приблизително 57 IP x 1, 0 е двоично 1 x 1 = x 2 0 е целочислено 1 x 2 = 1 ZRLP* = 45 1 2 x 1 9

Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Нелинейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка Целева функция Допустима област Вектор на независимите променливи Целева функция -нелинейна; Областни ограничения - нелинейни; Функционални ограничения- нелинейни;

Оптимално NLP решение x = 2. 1 Пример на задача MINLP x = 3. 2 1 2 ZLP* = 6. 75 x 2 Max Z = x 1 x 2 3 s. t. Оптимално MINLP решение –x 1 + 2 x 2 = 1 x 1 4 2 5 x 1 + 2 x 2 = 2 16 x 2 2 x 1 – x 2 4 2 ZIP* = x 1 0 е двоично 1 x 2 0 е целочислено 1 2 x 111

Оптимално NLP решение x = 2. 1 Пример на задача MINLP x = 3. 2 1 2 ZNLP* = 6. 75 x 2 Оптимално MINLP решение x 1 = 2 Max Z = x 1 x 2 3 x 2 = 3 s. t. Z *=6 –x 1 + 2 x 2 4 NLP 2 5 x 1 + 2 x 2 16 2 x 1 – x 2 4 x 1 0 е целочислено x 2 0 е непрекъснато 1 1 2 x 112

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Метод на локалното търсене Алгоритъм на метода 1. Избира се начална дискретна точка в допустимото пространство 2. Прави се сканиране в областта около началната точка и се изчислява Ц. Ф. За точките в допустимото пространство 3. Дискретната точка с най-добър резултат се приема за начална и алгоритъма се повтаря в т. 2 4. Критерия за спиране на търсенето е достигане на точка, от която не може да се намери по-добър резултат

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Оптимално NLP решение Метод на локалното търсене - графическа интерпретация x 1 = 2. 1 x 2 = 3. 2 ZNLP* = 6. 75 x 2 Оптимално MINLP решение x 1 = 2 Max Z = x 1 x 2 3 x 2 = 3 s. t. ZIP* = 6 –x 1 + 2 x 2 4 2 5 x 1 + 2 x 2 16 2 x 1 – x 2 4 x 1 0 , x 2 0 и целочислени 1 1 2 x 1

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Метод на случайното търсене Алгоритъм на метода: 1. От зададена начална дискретна точка в допустимото пространство се изпълнява случайно търсене като променливите се приемат за непрекъснати 2. С прекратяване на търсенето координатите на най-добрата точка се трансформират в най-близката дискретна точка 3. Около трансформираната дискретна точка се извършва сканиране по близките дискретни точки. Точката с най-добър резултат се приема за решение на задачата

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Метод на случайното търсене-графическа интерпретация x 2 max x 2 min x 1 max x 1

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Симплексен метод - графическа интерпретация x 2 x 1 17

18

19

Solving Integer Programs

IP Branch and Bound • Successively solve relaxed IP problems • Determine upper and lower bounds for relaxed problems • Eliminate branches that exceed bounds • When only one “node” remains, optimal solution has been found 21

B&B Formulation Max Z = 1, 000 x 1 + 1, 500 x 2 s. t. 80, 000 x 1 + 40, 000 x 2 400, 000 15 x 1 + 30 x 2 200 x 1, x 2 0 and integer Relaxed LP Solution x 1 = 2. 22 x 2 = 5. 56 ZLP* = 10, 557 Optimal IP Solution x 1 = 1 x 2 = 6 ZIP* = 10, 000 Rounded LP Solution x 1 = 2 x 2 = 5 ZRLP* = 9, 500 22

B&B Solution x 2 5 3 9, 500 (2, 5) Fathomed Z*= 9, 500 x 2 6 Z*= - 2 10, 000 (2. 5, 5) 9, 500 (2, 5) x 1 2 1 10, 055 (2. 22, 5. 56) 9, 500 (2, 5) x 1 1 x 1 3 4 9, 000 (3, 4) Fathomed 5 10, 033 (1. 33, 6) 10, 000 (1, 6) 6 10, 026 (1, 6. 17) 10, 000 (1, 6) x 2 6 8 10, 000 (1, 6) Fathomed Z*= 10, 000 x 1 2 7 Infeasible Fathomed x 2 7 9 Infeasible Fathomed 23