Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой в прямоугольных

Приложения определенного интеграла. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Длина дуги кривой в полярных координатах. Семинар 19

Длина дуги кривой для функции, заданной в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле: Поэтому или , где y’=f’(x) Дифференциал дуги в прямоугольных координатах - дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как , то. Это теорема Пифагора для бесконечно малого треугольника. Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями Пусть L – длина дуги кривой , , - непрерывно дифференцируемые функции на заданном отрезке. Формула для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt; dy=y’dt. Имеем Интегрируя последнее выражение в пределах от до t=T получим длину дуги

Длина дуги в полярных координатах Выведем сначала формулу для дифференциала d. L дуги в полярных координатах на основании формулы , где x, y – прямоугольные декартовы координаты точки дуги. Формулы перехода: Отсюда , следовательно, или (1), где Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой между точками и , где - полярные координаты. Решение. Интегрируя равенство (1) в пределах от до получаем длину дуги в полярных координатах , где и - производная

Примеры с решениями. 1. Вычислить длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках. Уравнение линии (1), где а – параметр цепной линии, а>0. Или проще (1’) – гиперболический косинус. Решение. b – абсцисса точки В; h – ордината точки В. Дифференцируя уравнение (1’) получаем. Далее. Тогда. Далее, имеем 2. Найти длину дуги окружности, заданной параметрическими уравнениями от t=0 до t=T Решение Здесь dx=-asintdt; dy=acostdt. Поэтому и, следовательно 3. Найти длину дуги астроиды Решение. Запишем уравнение астроиды в следующем виде. Замена. Получаем параметрические уравнения астроиды (1).

Кривая (1) симметрична, поэтому находим при изменении t от 0 до. Получаем. Отсюда. Интегрирую в пределах от t=0 до получим 4. Вычислить полную длину дуги кардиоиды Решение Имеем , тогда , отсюда Примеры для самостоятельного решения Вычислить длины дуг кривых: 6. Найти длину дуги: 7. Найти длину дуги: 8. Найти длину дуги: