Приложение метода резолюций для анализа силлогизмов Аристотеля «силлогизм

Приложение метода резолюций для анализа силлогизмов Аристотеля «силлогизм же есть речь, в которой при предположении чегонибудь из него с необходимостью вытекает нечто отличное от утверждённого и, [именно] в силу того, что это есть» каждый силлогизм Аристотеля можно представить как некоторую комбинацию предложений следующих видов: А: Всякий М есть Р x(M(x) P(x)); Е: Всякий М не есть Р x(M(x) ⌐ P(x)); I: Некоторый М есть Р x(M(x) & P(x)); O: Некоторый М не есть Р x(M(x) & ⌐ P(x)).

Силлогизм Аристотеля - это вывод, который можно получить на основании истинности двух посылок указанного вида. Силлогизм обозначают тремя буквами по виду посылки и виду заключения. Так, например, силлогизм ААА можно представить в виде: всякий М есть P, всякий Р есть Q, следовательно, всякий М есть Q.

В зависимости от положения среднего термина в посылках, различают четыре фигуры силлогизма. Модусами силлогизма называются разновидности силлогизма отличающиеся качественной и количественной характеристикой посылок и заключения. Силлогизмам присваивают собственные имена, например, силлогизм ААА называется Barbara (в слове “ Barbara” гласными являются три буквы а).

Можно подсчитать, что количество различных модусов силлогизмов Аристотеля равно 256 (по 64 в каждой фигуре). Правильных модусов, когда из истинности посылок следует истинность заключения - 24. Для выяснения правильности модусов осуществляется применение метода резолюций.

Рассмотрим силлогизм Барбара построенный по первой фигуре. В символьной записи он означает, что из истинности формул x (S(x) P(x)), x (P(x) Q(x)) нужно получить истинность формулы x(S(x) Q(x)), т. е. доказать, что из формул x(S(x) P(x)) и x(P(x) Q(x)) логически следует формула x(S(x) Q(x)). Известно, что если формула С = x(S(x) P(x))&( x(P(x) Q(x))&⌐ x(S(x) Q(x)) является противоречием, то указанное логическое следствие будет доказано.

Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах) Задан эффективный процесс (метод) если: 1) есть предписание, определяющее последовательность преобразований которые надо применять одно за другим к элементу из M; 2) 2) если элемент х из M задан, предписание однозначно определяет такую последовательность преобразований, что за конечное число шагов выясняем, обладает х свойством U или нет. 3)Таким образом, если задан эффективный процесс, то для любого элемента из M за конечное число шагов выясняем, обладает заданный элемент свойством U или нет.

Полуэффективным процессом считается некоторая процедура, которая не всегда позволяет для произвольного элемента х из M за конечное число шагов выяснить, обладает х свойством U или нет. Точнее будем считать, что задан полуэффективный процесс (метод) если выполняется вышеуказанное условие 1), а вместо 2) следующее условие: если элемент х из M задан, предписание однозначно определяет такую последовательность преобразований, что если х обладает свойством U, то за конечное число шагов это выясняем, если же х не обладает свойством U, то, возможно, мы не сможем это выяснить за конечное число шагов.

Пример эффективной процедуры. Пусть M={0, 1, 2, 3, . . . }. Число n может быть квадратом какого-либо числа из M, назовем это свойством U. Эффективной процедурой для выяснения обладает ли элемент х из M свойством U может быть следующая. Берем числа 1, . . . , x-1 и возводя их в квадраты смотрим равны они х либо нет. Очевидно, что таким образом мы всегда сможем выяснить для любого х за конечное число шагов обладает х свойством U либо нет.

Дедуктивные теории Дедукция (от латинского deductic - выведение) - форма мышления, когда заключение выводится чисто логическим путем (т. е. по правилам логики) из некоторых данных посылок. Индукция (от латинского inductio - наведение) - форма мышления, по-средством которой от некоторых фактов или истинных высказываний переходят к некоторой гипотезе (общему утверждению).

Дедуктивная теория считается заданной, если задан язык этой теории и из множества правильно построенных выражений (предложений, называе-мых формулами) языка выделено дедуктивным образом множество теорем. Подробнее, дедуктивная теория считается заданной, если: 1). Задан алфавит и правила образования выражений (слов) в этом алфавите. 2). Заданы правила образования формул (правильно построенных выражений) языка. 3). Из множества всех формул языка выделено некоторым дедуктивным способом (который будет описан ниже) подмножество Т, элементы которого будем называть теоремами. В зависимости от того, как задано это подмножество Т, будем различать получающиеся при этом дедуктивные теории.

Подмножество Т может задаваться одним из следующих способов. I. Задаются аксиомы и конечное число правил выводов, т. е. а) из множества формул (правильно построенных выражений) выделяется подмножество А, элементы которого называются аксиомами (аксиом может быть как конечное число, так и бесконечное), б) задается конечное число правил выводов, используя которые, и только их, из аксиом можно некоторым образом получать теоремы Если теоремы заданы указанным образом, т. е. заданием аксиом и конечного числа правил вывода, то эта дедуктивная теория называется формальной аксиоматической теорией или формальным (логическим) исчислением.

II. Задаются только аксиомы, а правила вывода считаются известными, т. е. : а) из множества формул (правильно построенных выражений) выделяется подмножество А, элементы которого называются аксиомами (аксиом может быть как конечное число, так и бесконечное), б) правила вывода (методы доказательства) теорем считаются известными из опыта изучения математики. При таком задании теорем дедуктивной теории, говорим, что задана полуформальная аксиоматическая теория.

III. Аксиом нет, а задается только конечное число правил выводов, с помощью которых и получают теоремы. Такую дедуктивную теорию называют теорией естественного вывода. Случай, когда нет аксиом рассматривается в логике. и нет правил вывода, не Применяя один из указанных выше способов задания теорем, будем получать множества теорем Т 1, Т 2 и Т 3 соответственно.

Дедуктивные теории, в которых множество теорем покрывает все множество формул (правильно построенных выражений) называются противоречивыми, в противном случае – непротиворечивыми. Непротиворечивость и полнота, являются важнейшими свойствами дедуктивной теории. Отдельная аксиома дедуктивной теории, называется независимой, если эту аксиому нельзя вывести в этой теории из остальных аксиом. Система аксиом называется независимой, если каждую из них нельзя вывести из остальных. Дедуктивная теория называется разрешимой, если в этой теории понятие теоремы эффективно, т. е. существует правило (метод), позволяющее для произвольной формулы за конечное число действий выяснить, является она теоремой или нет.

Пусть заданы две дедуктивные теории B 1 и B 2 такие, что: 1) алфавит теории B 1 содержится в алфавите теории B 2 или эти алфавиты совпадают, 2) каждая формула из B 1 является формулой из B 2 3) каждая теорема из B 1 является теоремой в B 2 При выполнении этих условий говорят, что теория B 2 является расширением теории B 1.