Приложение алгебры высказываний к математике
Прямая и обратная теоремы Многие математические теоремы имеют структуру, выражаемую формулой X Y. Утверждение X называется условием теоремы, а утверждение Y — ее заключением. Пример 1: Если в четырехугольнике все стороны равны между собой (А 1), то его диагонали перпендикулярны (В 1). Символическая запись этой теоремы: А 1 В 1. Пример 2: Если в четырехугольнике все стороны равны (А 2), то его диагонали перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам (В 2). Символическая запись: А 2 В 2.
Обратная теорема Если некоторая теорема имеет форму X Y, то утверждение Y X называется обратным для данной теоремы. Это утверждение может быть справедливым, и тогда оно называется теоремой, обратной для теоремы Х Y, которая, в свою очередь, называется прямой теоремой. Если же утверждение Y X не выполняется, то говорят, что обратная теорема для теоремы X Y неверна. Для теоремы А 1 В 1 обратная теорема неверна, а для теоремы А 2 В 2 справедлива обратная теорема В 2 А 2.
Необходимые и достаточные условия Если некоторая математическая теорема имеет структуру, выражаемую формулой Х Y, то высказывание У называется необходимым условием для высказывания X, (иначе: для того, чтобы X было истинным, необходимо Y), а высказывание X называется достаточным условием для высказывания У (другими словами, для того, чтобы У было истинным, достаточно, чтобы истинным было высказывание X).
Примеры необходимых и достаточных условий Необходимым условием равенства в четырехугольнике всех сторон является перпендикулярность его диагоналей. Иначе говоря, достаточным условием для перпендикулярности диагоналей четырехугольника является равенство всех его четырех сторон. Если доказана теорема Х Y, возникает вопрос, будет ли найденное необходимое условие Y достаточным для X или достаточное условие X — необходимым для Y. Иначе говоря, будет ли верно утверждение Y X, обратное по отношению к теореме Х Y. Условие перпендикулярности диагоналей четырехугольника, необходимое для равенства его сторон, но не является достаточным для равенства сторон. .
Необходимые и достаточные условия Если справедливы утверждения Х Y и Y X, т. е. справедливо X Y, то говорят, что X — необходимое и достаточное условие для Y и , наоборот, что Y — необходимое и достаточное условие для X, или же, что Y является критерием (для) X. Пусть требуется найти необходимое и достаточное условие для некоторого утверждения X. Начинают с отыскания ряда необходимых условий для X, т. е. утверждений Y 1, Y 2, Y 3, . . . , следующих из Х Y 1, Х Y 2, Х Y 3, . . . Затем пытаются анализировать, не окажется ли то или иное найденное необходимое условие достаточным.
Противоположная теорема Для теоремы, сформулированной в виде импликации X Y, кроме обратного утверждения Y X можно образовать противоположное утверждение. Формулы X Y и не являются равносильными, поэтому утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, но может и не быть. Пример: Если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны. Противоположное утверждение : Если в четырехугольнике все стороны не равны, то его диагонали не перпендикулярны. Оно не является теоремой.
Теорема, обратная противоположной Пусть дана теорема X Y. Утверждение является верным и называется теоремой, обратной противоположной. Пример: теорема: если связный граф эйлеров, то все его вершины имеют четную степень. Теорема, обратная противоположной: если не все вершины связного графа имеют четную степень, то граф не эйлеров. То, что утверждение является теоремой, вытекает из равносильности Х Y = (закон контрапозиции). На основании закона контрапозиции предложение, обратное противоположной теореме, является теоремой.
Метод доказательства от противного один из самых распространенных в математике методов доказательства теорем. Для того чтобы доказать теорему Х Y , предполагается, что верно утверждение X и доказывается утверждение У. Вместо этого делается предположение, противное тому, которое требуется доказать, т. е. предполагается Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы приходим к выводу. Получение такого противоречия позволяет принять то, которое требовалось доказать, т. е. Y (по закону контрапозиции).
Опровержение утверждения контрпримером • Чтобы доказать неправильность умозаключения, можно указать такой пример, в котором все посылки были бы истинными, а следствие было бы ложным. Такой пример называется контрпримером. П. Ферма высказал гипотезу, что числа вида при натуральном k являются простыми. При к = 0, 1, 2, 3, 4 получаются простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Следующее число при k = 5 настолько велико, что Ферма не сумел его определить. В 1739 году Эйлер показал, что это число составное и опроверг гипотезу Ферма.
Дедуктивные и индуктивные умозаключения Умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Дедуктивные умозаключения это «умозаключения от общего к частному» , а индуктивные «от частного к общему» . Дедуктивное умозаключение, основано на анализе логической структуры посылок и следствия, индуктивное умозаключение основано на анализе их содержания. Пример: если четырехугольник является квадратом, то его диагонали равны; Четырехугольник ABCD — квадрат. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD равны. Утверждение верно на основании правила вывода.
Дедуктивные и индуктивные умозаключения Пример 2: дуб — лиственное дерево; береза — лиственное дерево; липа — лиственное дерево. Следовательно, все деревья — лиственные. Пример 3: Обь замерзает зимой. Енисей замерзает зимой. Лена замерзает зимой. Следовательно, все сибирские реки замерзают зимой. Это — индуктивные умозаключения. Они получены не на на анализе логической структуры посылок, а на их содержании. Их изучение не входит в задачу логики.
Задача Энштейна • Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных. • Известно, что: норвежец живет в первом доме. –Англичанин живет в красном доме. Швед держит собаку. –Датчанин пьет чай. Зеленой дом стоит слева от белого. –Жилец зеленого дома пьет кофе. –Человек, который курит Pallmall, держит птицу. –Жилец среднего дома пьет молоко. –Жилец из желтого дома курит Dunhill. Норвежец живет в первом доме. –Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку. –Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill. –Курильщик Winfield пьет пиво. –Норвежец живет около голубого дома. Немец курит Rothmans. –Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду. Вопрос: У кого живет рыба?
Скачать презентацию Приложение алгебры высказываний к математике Прямая и
Логика и математика.ppt