Приближенные числа и действия над ними

• Неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи является анализ погрешностей. • Погрешность – объективно неизбежная ошибка, сопровождающая процесс решения задачи. • Возникновение, накопление и распространение ошибок проходит через все стадии решения прикладной задачи.

Общая схема процесса решения задачи с использованием ЭВМ Определение целей моделирования Огрубление объекта (процесса) Математическая модель Исходный объект Уточнение модели Конец работы Поиск математического описания Анализ результ атов Расчеты на ЭВМ Выбор метода исследования Разработка алгоритма и программы для ЭВМ Отладка и тестирование программы

Основные этапы процесса решения задачи на ЭВМ • 1) Моделирование (постановка задачи и построение математической модели) • 2) Алгоритмизация (выбор метода и разработка алгоритма) • 3)Программирование (запись алгоритма на каком-либо языке программирования) • 4)Реализация (отладка и исполнение программы на ЭВМ) • 5)Интерпретация (анализ полученных результатов)

Пусть R точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат R 1. Образовавшаяся таким образом погрешность e 1=R-R 1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений, это так называемая неустранимая погрешность.

• При решении задачи, выбирая тот или иной приближенный метод вычисления, допускают новую погрешность, приводящую к получению результата R 2. • Погрешность e 2=R 1 -R 2 называется погрешностью метода.

• Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Округление чисел при решении задачи на ЭВМ, связанное с ограниченным числом разрядной сетки приводит к получению результата R 3, отличающуюся от величины R 2 на величину вычислительной погрешности e 3=R 3 -R 2

Полная погрешность e=R-R 3=(R-R 1)+(R 1 -R 2)+(R 2 -R 3)=e 1+e 2+e 3

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительные погрешности • Пусть X – точное значение некоторой величины, а x – наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения x определяется как Величина ex называется абсолютной погрешностью приближенного значения x.

Обычно точное значение X неизвестно. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т. е такое (по возможности) наименьшее число для которого справедливо равенство Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью

Пример 1. Если производить вычисления на 8 -ми разрядном калькуляторе, то получим приближенное значение этого числа Абсолютная погрешность значения Очевидно, что Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближения

Пример 2 В результате измерений получены значения 5, 2; 5, 3; 5, 4; 5, 3. В этом случае за наилучшее приближение принимают среднее значение x=5, 3. Абсолютную погрешность измерения определяют, как половину длины интервала, образуемую граничными значениями

Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ex модулю значения X. Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения x

Относительная погрешность приближения к числу

Контрольные вопросы • Что такое абсолютная погрешность приближенного значения величины. Что такое граница абсолютной погрешности. • Как с помощью границы абсолютной погрешности известного приближенного значения x можно указать возможные значения его нижней и верхней границы • Каким образом определяется граница абсолютной ошибки для приближенного значения х, получаемого с помощью многократных измерений • Что такое относительная погрешность приближенного значения. Что такое граница относительной погрешности • Как можно вычислить абсолютную погрешность, если известна его относительная погрешность