Приближение функции. Для заданных значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi (i=0, 1, 2, …, n) определить аналитическую зависимость. y=f(x) Основные этапы приближение функции. . • • Выбор вида зависимости Выбор критерия Выбор узловых точек Оценка точности Интерполяция. Определение аналитической зависимости функции, между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения. f(xi)=yi, где i=0, 1, 2, …, n. Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично. Метод с использование многочлена Лагранжа. Пусть в n+1 узловой точке x 0, x 1, x 2, …, xn определены значения y 0, y 1, y 2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т. е. L(x 0)=y 0, L(x 1)=y 1, L(x 2)=y 2, …, L(xn)=yn. 1
Рассмотрим многочлен вида где i = 0, 1, 2, 3, ……. , n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных равен нулю. из этого условия можно определить ci: и тогда многочлен (1) примет вид: Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2). 2
Пример. По заданным точкам i 0 1 2 xi -1. 000 0. 000 1. 000 yi 1. 0000 0. 0000 1. 0000 Определить интерполяционный многочлен L(x)=x 2 3
function yr=lagrange(x, y, xz) Begin nz=length(xz) lagrange(x, y, xz) n=length(x) x, y, xz i=1 шаг 1 до nz yz=lagrange(x, y, xz) yr(i)=0 yz k=1 шаг 1 до n End pr=1 End yr(i)=yr(i)+pr*y(k) j=1 шаг 1 до n j~=k pr=pr*(xz(i)-x(j))/(x(k)-x(j)) 4
Аппроксимация. Метод наименьших квадратов Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y: Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x, a 0, a 1, …, am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a 0, a 1, a 2, …, am, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a 0, a 1, …, am): 5
Функцию f(x, a 0, a 1, …, am) определим как полином степени m вида: Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2). Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a 0, a 1, a 2 : 6
Необходимые условия минимума критерия R имеют вид: или 7
Полученную линейную относительно искомых параметров a 0, a 1, a 2, систему уравнений запишем в матричном виде: где Для удобства формирования матрицы коэффициентов введем матрицу элементы которой определяются и столбца свободных членов тогда через значения независимой переменной xi, i=0, 1, 2, …, n 8
При аппроксимации полиномами высших порядков матрица будет иметь вид: В общем случае количество строк в матрицы равно количеству точек, а количество столбцов равно количеству параметров, где строка состоит из значений частных производных от функции f(x, a 0, a 1, …, am) по соответствующему параметру. Пример. Определить параметры зависимости вида используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным: i 0 1 2 3 xi -1 0 1 2 yi 2 1 2 4 9
10
11
Begin m, n, x, y i=1 шаг 1 до n close plot(x, y, ’ko’) hold on plot(xt, yt, ’k-’) j=1 шаг 1 до m F(i, j)=x(i)^(m-1) a=inv(F’*F)*F’*y yr=F*a; dy=y-yr r=dy’*d a, dy, r End 12
Скачать презентацию Приближение функции Для заданных значениях независимой переменной xi
VM-6МНК-m.ppt