Приближение функции. Для заданных на отрезке значений независимой переменной xi и соответствующих им значений зависимой переменной yi (i=0, 1, 2, …, n) определить аналитическую зависимость. y=f (x). Основные этапы построения приближения функции. • • Выбор вида зависимости Выбор критерия Выбор узловых точек Оценка точности
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ используется: -для замены реальной сложной функции более простой функцией на небольшом интервале области определения функции, - для вычислений промежуточных значений функции, которая задана таблично.
Интерполяция. Определение аналитической зависимости между x и y в виде некоторой функции f значения. (x), которая в узловых точках принимает заданные f где i=0, 1, 2, …, n. Постановка задачи. (xi) = Y(X i) = yi, Пусть в n+1 узловой точке x 0, x 1, x 2, …, xn определены значения y 0, y 1, y 2, …, yn. Требуется построить многочлен Y(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т. е. Y(x 0)=y 0, Y(x 1)=y 1, Y(x 2)=y 2, …, Y( xn )= yn. Определение степени полинома Интерполяционная формула Лагранжа. где , Li-полином Лагранжа, который в точке узлах –значение 0 (равен нулю). Решение ищется в виде xi принимает значение 1 , а в остальных
Полином Лагранжа Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму вида
Пример. Функция y=f(x) определена таблицей i 0 1 2 xi -1. 000 0. 000 1. 000 yi 1. 0000 0. 0000 1. 0000 Определить интерполяционный многочлен Y (x) по трём узловым точкам. Y(x)=x 2 Проверка по значениям в узлах.
function yr=lagrange (x, y, xz) Begin nz =length(xz) lagrange (x, y, xz) n=length(x) x, y, xz i=1 шаг 1 до nz yz=lagrange ( x, y, xz) yr(i)=0 yz k=1 шаг 1 до n End pr=1 End yr(i)=yr(i)+pr*y(k) j=1 шаг 1 до n j~=k pr=pr*(xz(i)-x(j))/(x(k)-x(j)) 6
АППРОКСИМАЦИЯ Для первого курса Для второго-VM-аппрооксим
Аппроксимация. Метод наименьших квадратов Постановка задачи. Даны результаты эксперимента, представленные в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y: Требуется отыскать аналитическую зависимость f (x, a 0, a 1, …, am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a 0, a 1, a 2, …, am, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R (a 0, a 1, …, am):
Функцию f(x, a 0, a 1, …, am)) определим как полином степени m вида: Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2). Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a 0, a 1 , a 2 :
Необходимые условия минимума критерия R имеют вид: или
Полученную линейную относительно уравнений запишем в матричном виде: искомых параметров a 0, a 1, a 2, систему где Для удобства формирования матрицы коэффициентов введем матрицу элементы которой определяются через значения независимой переменной xi, i=0, 1, 2, …, n и столбца свободных членов тогда
В общем случае при аппроксимации полиномами высших порядков матрица будет иметь вид: Пример. Определить параметры зависимости вида используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным: i 0 1 2 3 xi -1 0 1 2 yi 2 1 2 4
Скачать презентацию Приближение функции Для заданных на отрезке значений независимой
VM-6new_интерпол.гарт.ppt