При работе с программой обратите внимание на следующее: • заголовок слайда имеет свой оттенок для каждой задачи; • указание номера задачи в формате № 5. *** отсылает нас к задачнику Иродова И. Е. 1988 года издания; • разбор задач рекомендуется проводить с ручкой и бумагой, проверяя все выкладки и расчеты; • появление в правом нижнем углу управляющей кнопки означает, что программа данного слайда выполнена и можно переходить к следующему слайду; • на слайдах с задачами для самостоятельного решения есть кнопки с подсказками, но рекомендуется пользоваться ими только в том случае, если не удается решить задачу самостоятельно; • возвращение к слайду с условием со слайда указания осуществляется при нажатии на управляющую стрелку «назад» ; • ответ на слайде с условием появляется при нажатии кнопки 1 мыши или клавиши ENTER. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения Показать, что равновесная спектральная плотность излучения u связана с энергетической светимостью R соотношением где с – скорость света.
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения Рассмотрим поток фотонов разных частот с концентрацией ni для частоты движущихся в одном направлении, указанном стрелкой. Тогда энергия, проходящая через площадь S за время t будет определяться количеством фотонов, попавших на эту площадь за указанное время
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения Каждое слагаемое представляет собой энергию всех фотонов частотой находящихся в единице объема, а сумма есть энергия всех фотонов в единице объема, то есть объемная плотность энергии u.
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения На основании выражений (1) и (2) можно утверждать, что количество энергии, проходящей через площадку S за время t определяется отношением
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения Рассмотрим теперь полость, заполненную равновесным излучением. Через каждую точку полости проходит бесконечное количество фотонов, направления которых равномерно распределено в пределах телесного угла Половина из них движется к рассматриваемой точке, и только половина – от неё. Поток энергии в пределах полусферы будет определяться выражением или
Связь энергетической светимости и объёмной плотности излучения Количество энергии, выходящей из площадки S, расположенной на границе полости, в единицу времени будет равно тогда Этот поток энергии должен быть таким же, какой излучают абсолютно черные стенки (условие равновесия!), то есть тогда или
№ 5. 263 Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на больше длины волны, соответствующей максимуму испускательной способности первого источника.
№ 5. 263 Решение Дано: Для решения задачи используем закон смещения Вина. Запишем его для каждого источника: Выражая длину волны из первого уравнения системы подставим ее во второе уравнение:
№ 5. 263 Решение Дано: Выражая температуру, получаем: Переведем данные в систему СИ и подставим в формулу:
№ 5. 265 Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно чёрного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0, 48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, в течении которого масса Солнца уменьшится на 1%.
№ 5. 265 Решение Дано: Будем решать задачу, предполагая, что за время 1 секунда масса Солнца, его температура и энергетическая светимость меняется незначительно. Аналогичное предположение сделаем для интервала времени, за которое масса Солнца уменьшится на 1% Связь между потерянной массой и испущенной энергии найдем с помощью формулы Эйнштейна:
№ 5. 265 Решение Дано: Испущенную Солнцем энергию выразим через энергетическую светимость: где - площадь поверхности Солнца Объединяя формулы (1) и (2), получаем:
№ 5. 265 Решение Дано: Выразим энергетическую светимость через длину волны, соответствующую максимуму испускательной способности, используя закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина: Отсюда: Подставляя полученное выражение в (3), получаем:
№ 5. 265 Решение Дано: откуда: где радиус Солнца Переведем данные в систему СИ и подставим в формулу:
№ 5. 265 Решение Дано: Для определения времени t за которое Солнце потеряет 1% своей массы, будем считать, что скорость потери массы не зависит от времени и используем результат где масса Солнца Таким образом:
№ 5. 265 Решение Дано: Переведем данные в систему СИ и подставим в формулу: Хотя ответ получен в единицах системы СИ, его имеет смысл выразить в годах, считая, что один год – это примерно Тогда Для справки: согласно данным Википедии, считается, что Солнце сформировалось примерно 4, 59 млрд лет назад
№ 5. 567 Медный шарик диаметра D=1, 2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т 0=300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через какое время его температура уменьшится в 2 раза. Построить график зависимости температуры от времени.
№ 5. 567 Решение Дано: Будем решать задачу, предполагая, что при остывании объём шара не меняется, то есть механическая работа не совершается. Значит, первый закон термодинамики можно записать так: Тогда изменение внутренней остывания запишем в виде энергии в процессе То же изменение внутренней энергии можно выразить через энергетическую светимость и площадь поверхности:
№ 5. 567 Замечание Обратим внимание на разные знаки в уравнениях (1) и (2). Первое уравнение описывает процесс остывания тела, то есть процесс уменьшения температуры. Тело отдает тепло: Второе уравнение описывает изменение внутренней энергии тела за счет теплового излучения, то есть именно то количество энергии, которое излучено телом: Первое уравнение может быть как со знаком «+» – тело нагревается, так и со знаком «-» – тело остывает, как в нашем случае. Второе уравнение всегда со знаком «+» !
№ 5. 567 Решение Дано: Приравняем левые уравнений (1) и (2): и правые части Используя закон Стефана – Больцмана, выразим связь энергетической светимости с температурой: Подставляя это выражение в (3), получаем:
№ 5. 567 Решение Дано: Разделим переменные (температуру – влево, время и константы - вправо): Заметим, что поскольку в разные моменты времени одному и тому же интервалу времени dt соответствует разное изменение температуры d. T, мы не можем перейти к конечным приращениям, а должны использовать бесконечно малые и интегрировать для нахождения зависимости T(t).
№ 5. 567 Решение Дано: Проинтегрируем выражение (3 а), учитывая, что начальному моменту времени t=0 соответствует температура Т 0, а произвольному моменту времени t температура T(t) После интегрирования получаем:
№ 5. 567 Решение Дано: Подставим пределы интегрирования: Окончательно Откуда
№ 5. 567 Качественный график зависимости вида
№ 5. 567 Решение Дано: Вернемся к уравнению (4): и найдем время, за которое температура уменьшится в 2 раза Откуда
№ 5. 567 Решение Дано: Выразив массу m медного шарика через его объем и плотность: окончательно получаем Подставляя численные значения в единицах системы СИ, получим:
Лампа накаливания Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину l =15 см и диаметр d=0, 03 мм. Мощность , потребляемая лампой, Р=10 Вт. Нить лампы считать абсолютно черным телом, 20% мощности которого передается другим телам вследствие теплопроводности и конвекции.
Лампа накаливания Решение Дано: По закону смещения Вина: По закону Стефана-Больцмана: Свяжем мощность излучения энергетической светимостью: где площадь поверхности нити Объединим формулы (1), (2) и (3) в систему с
Лампа накаливания Решение Дано: Выражая температуру Т из двух последних уравнений, подставим ее в первое уравнение и найдем длину волны, соответствующую максимуму испускательной способности:
Лампа накаливания Решение Дано: Переведем данные в систему СИ и поставим в формулу:
№ 5. 274 Преобразовать формулу Планка для объёмной от переменной спектральной плотности излучения (линейная частота) и к переменным (длина волны).
№ 5. 274 Решение Запишем связь между переменными Видно, что в выражении (2) взаимосвязь между переменными линейная, а в выражении (3) – нет. На основании выражений (2) и (3) найдем взаимосвязь между бесконечно малыми приращениями переменных:
№ 5. 274 Решение Знак «-» в формуле (5) указывает только на то, что частота убывает с увеличением длины волны, поэтому в дальнейшем мы его опустим и на основании уравнений (4) и (5) запишем: В дальнейшем решении примем во внимание связь между энергетической светимостью и объемной спектральной плотностью энергии: и
№ 5. 274 Решение Эти выражения можно представить производной сложной функции: и С учетом (1), (2), (3), (4 а) и (5 а) получим: в виде
№ 5. 274 Решение Дальнейшие преобразования позволяют получить окончательное выражение для формулы Планка:
Задачи для самостоятельного решения
№ С 1. 1 (5. 264) Энергетическая светимость абсолютно черного тела R=3 Вт/см 2. Определите длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела. Указание 1 Ответ: Указание 2
№ С 1. 2 Мощность излучения абсолютно черного тела Р=105 Вт. Чему равна площадь излучающей поверхности тела, если длина волны, на которую приходится максимум излучения равна Указание 1 Ответ: Указание 2
№ С 1. 3 В следствии изменения температуры тела максимум его спектральной энергетической светимости переместился с до Тело абсолютно черное. Во сколько раз и как изменилась: а) температура тела; б) энергетическая светимость? Указание 1 Ответ: Указание 2
№ С 1. 4 (5. 275) Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий спектральный диапазон вблизи максимума спектральной Плотности излучения, при температуре тела Т=3000 К. Указание 1 Ответ: Указание 2
Указание 1 к № С 1. 1 Используйте закон смещения Вина и закон Стефана-Больцмана 42
Указание 2 к № С 1. 1 С помощью закона Стефана-Больцмана свяжите температуру и энергетическую светимость, с помощью закона смещения Вина – температуру и длину волны. Решите получившуюся систему из двух уравнений. 43
Указание 1 к № С 1. 2 Используйте закон смещения Вина и закон Стефана-Больцмана 44
Указание 2 к № С 1. 2 С помощью закона Стефана-Больцмана свяжите температуру и энергетическую светимость, с помощью закона смещения Вина – температуру и длину волны. Свяжите энергетическую светимость с мощностью излучения. Решите получившуюся систему из трех уравнений. 45
Указание 1 к № С 1. 3 Используйте закон смещения Вина и закон Стефана-Больцмана 46
Указание 2 к № С 1. 3 Если Указания 1 оказалось недостаточно, то попробуйте: • обратиться к друзьям; • прийти на консультацию; • сменить институт . 47
Указание 1 к № С 1. 4 Учтите связь между спектральной плотностью энергии и испускательной способностью 48
Указание 2 к № С 1. 4 Используйте закон смещения Вина и учтите, что в узком спектральном диапазоне при интегрировании по длине волны спектральная испускательная способность практически постоянна 49
Скачать презентацию При работе с программой обратите внимание на следующее
Задачи_тема_1_Тепловое излучение-1.ppt