Презентация векторы в пространстве

Векторы в пространстве A B C DA 1 B 1 C 1 D 111 ACAAADAB uuuur

Как и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленный отрезок : A B Точка А – начало вектора , В – конец вектора. Записывают: или . AB uuur a Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или . 0 r. AA uuur A Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, т. е. AB AB åä. î ò ð. . uuur Естественно, что 0 AA. uuur. I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами. A B Векторы и являются противоположными. Очевидно, что: AB uuur BA uuur AB BA. uuur

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: a b c Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направленными (или соноправленными) и противоположно направленными. В нашем случае: Обозначение коллинеарных векторов: a b, r r Pa c , r r Pc b. r r P – соноправленные векторы, , – противоположно направленные векторы. ↑↓ a r b r ↑↓ c r b r ↑ ↑ a r c r m n. P Два вектора называются равными , если: 1) они соноправлены; и 2) их модули равны, т. е. a b è a b r r a r b r↑ ↑ a r b r

От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному: a r M N a MN r uuuur Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости: a r b r c r Углом между векторами называется угол между их направлениями: a rb r ¶ a , b r r Величина угла между векторами может изменятся от 0 0 до 180 0. Подумайте, когда: а) и б) ? ¶ 00 a , b r r¶ 0180 a , b r r Ответ : а) ; б) . ↑ ↑ a r b r ↑↓ a r b r

II. Действия с векторами. Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух векторов применяются правила треугольника или параллелограмма : a r b r 1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца другого, т. е. : a b r r 2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей начальной точки, т. е. , где F – вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точке векторов. a r b r a b r r MK KF MF uuuur MK MN MF uuuur

При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника : a r b r c r d ur e r a b c d e r r r ur r Обратим внимание, что при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов: a r b rb r a b r r a b r r При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим б ó льшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему? ): a r b rb r a b r r a b b a r r r

Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника – вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору: a rb r a b r r Или: т. к. , то можно вначале построить вектор, противоположный вектору , а затем оба вектора сложить по правилу треугольника. a b r r b r a rb r – a b r r

Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам: 1) – переместительный закон сложения; a b b a r r 2) – сочетательный закон сложения; a b c r r r 3) ; 0 a a r r r 4) . 0 a a r r r Следующее действие с векторами – умножение вектора на число k. В результате этого действия получается вектор , причем: 1) если k >0 , то и ; 2) если k <0 , то и ; 3) если k =0, то . 3 a r 2 a r 4 3 a r ↑ ↑ a r k a k · a r r ↑↓ k a r k a k · a r r 0 0·a r r 0·a r 8 3 a r

И еще одно действие с векторами – умножение двух векторов. В школьном курсе геометрии изучается скалярное произведение векторов. В результате этого действия (в отличии от предыдущих действий с векторами) получается число , равное произведению модулей двух данных векторов на косинус угла между этими векторами, т. е. ¶ a ·b a · b ·cos a , b. r r r a r b r b’ uur 0 90 090 b b’ r uur. Геометрически скалярное произведение векторов можно понимать как площадь параллелограмма (или противоположная ей величина), стороны которого образуются одним из данных векторов и вектором, перпендикулярным второму с таким же модулем: 0 90 ; a · b’ ·sin a · b ·cos a·b. S r uur r r 0 90 a · b’ ·sin. S a · b ·cos a·b. r uur r r – острый угол – тупой угол ò. å. a·b S r r

Теперь рассмотрим все эти понятия и действия с точки зрения координатного пространства. Вспомним, что любая точка пространства задается тремя координатами А ( x; y; z). A (x 1 ; y 1 ; z 1 ) B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) Если принять вектор за параллельный перенос начальной точки A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) в конечную точку B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то координаты вектора показывают: на сколько изменяются соответствующие координаты начальной точки при параллельном переносе в конечную , т. е. 2 1 2 1; ; AB x x y y z z uuur Естественно, что и . 0; 0; 0 AAuuur 1 2 1 2; ; BA x x y y z z uuur Т. к. модуль вектора равен длине изображающего отрезка, то: 2 2 2 AB m n k uuur , где – координаты вектора. ; ; AB m n kuuur Два вектора, заданные координатами будут равны , если (подумайте) … 1 1 1 2 2 2; ; a m n k è b m n k r r 1 2 1 2 m m , n n , k k. … равны их соответствующие координаты, т. е. III. Координаты вектора. Действия в координатах.

Для сложения двух векторов, заданных координатами, нужно просто сложить их соответствующие координаты, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; m n k m m ; n n ; k k. uuuuuuuuuur uuuuuuuuur При вычитании векторов, заданных координатами, нужно найти разности их соответствующих координат, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; ; m n k m m n n k k. uuuuuuuuuur uuuuuuuuur Умножение вектора, заданного координатами, на число выполняется так: ; ; a· m n k am an ak , ăäĺ a. uuuur uuuuuur R/ Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; m n k · m n k m m n n k k. uuuuur uuuuuur Условием коллинеарности двух векторов, заданных координатами, будет пропорциональность их соответствующих координат: 1 1 1 2 2 2 m n k a bč ëč a xb. m n k r r P Самостоятельно разберитесь, когда и . ↑ ↑ a r b r ↑↓ a r b r

Для выяснения компланарности трех векторов необходимо, чтобы любой из этих векторов можно было разложить по двум оставшимся, т. е. a , b, c c x·a y·b, x , y. r r r R. a r b r c r A B C DНапомним как это выглядит геометрически: По правилу параллелограмма: . Но , AC AB AD uuur AC c uuur r AB a , AD b. uuur r P P Значит, AB x·a , AD y·b uuur r c x·a y·b, x , y. r r r R. В данном конкретном случае: , если аппликаты всех точек равны. 2 3 c a b r r r

Аналитически выяснить компланарность трех векторов, заданных координатами, можно решая систему: 1 1 13 1 2 2 2 2 3 1 23 3 3 ; ; ; a m n km xm ym , n xn yn , ãäå b m n k. k xk yk , c m n k r r r Если система имеет единственное решение, то векторы компланарны. a , b, c r r r Любой вектор пространства можно разложить по трем некомпланарным векторам, т. е. ; d x·a y·b z·c , ãäå a , b, c x , y , z. ur r r r R. Аналитически разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам сводится к решению системы: 4 4 4; ; d m n k ur 1 1 1 2 2 2 3 3 3; ; ; a m n k , b m n k è c m n k r r r 4 1 2 3 m xm ym zm , n xn yn zn , k xk yk zk , А решение этой системы – числа x, y и z являются коэффициентами разложения вектора по трем векторам d ur a , b è c. r r r

a r b r c r d ur. Геометрически это означает возможность построения параллелепипеда, в котором диагональ задается вектором , а все три измерения – векторами, коллинеарными векторам . d ur a , b è c r r r A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 1 1 AC AA AB AD uuuur d x·a y·b z·c ur r

В прямоугольной системе координат в пространстве векторы и называются единичными координатными векторами ( или ó ртами ). Т. к. эти векторы являются некомпланарными, то любой вектор пространства можно разложить по ортам. При этом образуется прямоугольный параллелепипед, а коэффициенты разложения – координаты данного вектора. 1; 0; 0 i , r 0; 1; 0 j r 0; 0; 1 k r x yz A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 0 1 1 1 i r j r k r 1 1 1; ; AC AD AB AA x·i y· j z·k AC x y z uuuur r r r uuuur В данном случае x = – 3 ; y =4; z =6 , т. е. координаты вектора 13; 4 6 AC ; . uuuur

Умение выполнять действия с векторами и понимание вышеизложенного материала позволяет решать некоторые геометрические задачи с помощью векторов. Этот способ получил название векторного способа решения задач. Мы познакомимся с ним на следующих уроках…. A B C M NS O 1 3 SO SA SB SC uuur uur uuur Для любого тетраэдра: