Презентация раздела аналитической геометрии ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Разработчик

Презентация раздела аналитической геометрии: «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» Разработчик: Учащийся гр. 71191 Канашевич А. А. Художественное оформление: Учащаяся гр. 71191 Авдей П. И.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ P

Л ЕКЦИЯ 1 1. Способы задания прямой на плоскости 2. Каноническое уравнение прямой 3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 4. Параметрическое уравнение прямой 5. Уравнение прямой в отрезках 6. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору и общее уравнение прямой 7. Исследование общего уравнения прямой

1) Точкой, принадлежащей прямой, и направляющим вектором 2) Двумя точками, принадлежащими прямой 3) Точкой, принадлежащей прямой, и нормальным вектором 4) Точкой, принадлежащей прямой, и углом между прямой и положительным направлением оси X

Любой вектор на плоскости, параллельный данной прямой , называется направляющим вектором прямой Обозначается и т. д. А

В А

А

Y А 0 X

Уравнени прямой

Каноническое уравнение прямой Пусть – текущая точка прямой Y 0 X

Y 0 Возьмём на прямой X вектор по условию коллинеарности векторов, заданных своими координатами, выполняется: Каноническое (1) уравнение прямой где (m; n) – координаты направляющего вектора, (x 0; y 0 ) – координаты точки, лежащей на прямой (x; y) – координаты текущей точки

Построить прямую, заданную уравнением Решение: Y 1) Из уравнения найдём координаты направляющего вектора: 3 и точки, принадлежащей прямой: 1 0 2 4 X 2) Строим направляющий вектор 3) Строим точку A 4) Проводим прямую через точку А параллельно направляющему вектору

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пусть Y 0 – текущая точка прямой X

Y 0 Вектор можно принять за направляющий вектор для данной прямой. X Тогда уравнение (1) примет вид: (2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Ну списать? ? ? Успели ладно…

Записать каноническое уравнение и найти направляющий вектор прямой, проходящей через точки и Решение: 1) Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: 2) Сложим числа в знаменателе: – получили каноническое уравнение прямой 3) Направляющий вектор Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две точки легко сводится к каноническому уравнению. Замечание: если в знаменателях канонического уравнения одна из координат равна 0, то необходимо перейти к другому типу уравнений

1) Строим точку Y 2) Строим точку Ну и чего ждём-с? 3) мы пойдём вам И в этот раз Проводим прямую через точки и B Сами соединить 2 точки. Aуже не в силах? навстречу A 3 0 2 1 -4 -7 X B Чтобы себя проверить, строим направляющий вектор … …И убеждаемся в том, что прямая параллельна этому вектору!

Параметрические уравнения прямой Пусть – текущая точка прямой Y 0 X

Возьмём на прямой вектор Y Так как то выполняется следующее равенство: Векторное равенство уравнения прямой Перейдём к координатам: X Умножим координаты вектора на число t

На основании данного равенства составим систему из двух уравнений Выразим x и y: Параметрические уравнения прямой где x 0, y 0 – координаты точки, принадлежащей прямой; m, n – координаты направляющего вектора.

1) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору Решение: 2) Построить данную прямую Замечание: для того, чтобы построить прямую, заданную параметрическими уравнениями, необходимо задать 2 значения параметра и вычислить и. Можно использовать координаты данной точки, входящей в параметрические уравнения, так как она получается при.

Находим 2 точки, принадлежащие данной прямой Y 3 Строим… Построили! 0 1 2 X

Пусть прямая задана каноническим уравнением Введём параметр t (приравняем обе части уравнения к параметру t) Домножим первое и второе уравнение на m и n соответственно Выразим x и y Параметрические уравнения прямой

Составить параметрические уравнения прямой по заданному каноническому Решение: Приравняем обе части уравнения к параметру t Домножим первое и второе уравнение на 4 и 7 соответственно Выразим x и y Вот и получили параметрические уравнения прямой Чтобы себя проверить, сверяем координаты точки, принадлежащей прямой, и направляющего вектора в исходном и полученных уравнениях

Пусть прямая задана уравнениями Исключим параметр t (выразим его из обоих уравнений) Правые части уравнений равны, поэтому приравняем левые части. Каноническое уравнение прямой Можно пойти другим путём: Возьмём из уравнения координаты точки, принадлежащей данной прямой, и направляющего вектора На основе полученных данных составим Каноническое уравнение прямой

Составить каноническое уравнение прямой по заданному параметрическому Решение: I способ Исключим параметр t (выразим его из обоих уравнений) Правые части уравнений равны, поэтому приравняем левые части. Каноническое уравнение прямой II способ Возьмём из уравнения координаты точки, принадлежащей данной прямой, и направляющего вектора На основе полученных данных составим Каноническое уравнение прямой

! Рассмотрим случай посложнее: Пусть прямая задана уравнениями I способ Исключим параметр t (выразим его из обоих уравнений) Правые части уравнений равны, поэтому приравняем левые части. Замечание: Данное уравнение нельзя считать каноническим! Необходимо, чтобы коэффициенты при x и y были равны 1. Выносим за скобки в числителе коэффициенты при x и y. . . … и опускаем их в знаменатель знаменателя. Получили каноническое уравнение прямой. Из уравнения: !

II способ Найдём из уравнений координаты точки, принадлежащей прямой, и направляющего вектора. Замечание: координаты точки, принадлежащей прямой, и направляющего вектора из параметрических уравнений можно найти лишь в том случае, если коэффициенты при x и y равны 1. Разделим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при x и y были равны 1 Найдём из уравнения координаты точки, принадлежащей данной прямой, и направляющего вектора На основе полученных данных составим каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая пересекает координатные оси в точках A и B – текущая точка прямой Y 0 X

Y Составим уравнение прямой AB, как уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки Подставим координаты… 0 X …избавимся от нулей… …Разделим почленно левую часть уравнения… …Перегруппируем… …Домножим всё на – 1 Уравнение прямой в отрезках, где a и b – длины отрезков, отсекаемых данной прямой на осях Ox и Oy

Найти длины отрезков, отсекаемых на координатных осях прямой Решение: Приводим данное уравнение к уравнению прямой в отрезках Переносим число в правую часть «Делаем» так, чтобы справа стояла 1 Опускаем коэффициенты при x и y, если они есть, в знаменатель знаменателя Получили уравнение прямой в отрезках Из уравнения: Замечание: знак a и b указывает, с какой стороны от начала координат расположен отрезок

Отсекаем на координатных осях отрезки: на оси Ox на оси Oy Y 0 X

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Определение: любой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным к данной прямой Обозначается: и т. д. Y Пусть – текущая точка 0 X

Y 0 X Построим вектор из условия перпендикулярности векторов их тогда скалярное произведение равно 0 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Y Вернёмся к предыдущему уравнению раскроем скобки перегруппируем 0 X В этих скобках стоят координаты точки и направляющего вектора, т. е. конкретные числа обозначим через Общее уравнение прямой Замечание: число С содержит координаты направляющего вектора и точки, принадлежащей данной прямой

Построить прямую, заданную уравнением Решение: Для построения прямой достаточно прямую? ? ? Как же просто! А очень построить эту двух точек. Ну это произвольных значения одной из координат, а Зададим 2 вы уже и сами знаете!!! вторую найдём из уравнения. Строим найденные точки на координатной плоскости… Пусть …и проводим через них прямую Ну проверки можно построить направляющий Длямы же обещали, что будет просто!!!))) вектор, который, исходя из уравнения, имеет координаты: Y Пусть 0 X

Исследование общего уравнения прямой Что же происходит с прямой, когда некоторые из коэффициентов её общего уравнения равны 0? Начнём исследование… Вид уравнения А=0 B=0 C=0 A=C=0 B=C=0 Пояснение Прямая параллельна оси Ox А остальное заполняем сами! Схематический рисунок

Л ЕКЦИЯ 2 1. Продолжение исследования общего уравнения прямой 2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом и общее уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Расстояние от точки до прямой 4. Нормальное уравнение прямой

Для начала проверим, справились ли вы с домашним заданием! Вид уравнения А=0 B=0 Пояснение Прямая параллельна оси Ox Прямая параллельна оси Oy Схематический рисунок

Вид уравнения C=0 A=C=0 Пояснение Прямая расположена произвольно и приходит через начало координат Прямая совпадает с осью Ox Схематический рисунок

Вид уравнения B=C=0 Пояснение Схематический рисунок Прямая совпадает с осью Oy А теперь поднимите руки, кто справился на 100% А что, остальным СЛАБО? ? ?

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Y 0 X

Для вывода этих уравнений вернёмся к предыдущей теме и вспомним уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору и общее уравнение прямой. где – текущая точка Вспомнили? . . Тогда приступим! Выразим Переобозначим: Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом

k Y 0 b Геометрический смысл углового коэффициента состоит в том, что его значение равно ( – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox) X – смещение точки пересечения прямой с осью Oy относительно начала координат

Пример 1. Прямая проходит через точку Составить уравнение этой прямой. с угловым коэффициентом . Решение: Поскольку у нас даны точка, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент, то вспоминаем уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом Вспоминаем… Вспомнили! Подставляем в него всё, что нам известно Раскрываем скобки Приводим подобные: Любое действие всегда приводит к какому-нибудь результату (ожидаемому, не совсем ожидаемому или даже совсем неожидаемому). Наш результат ожидаемый – общее уравнение прямой с угловым коэффициентом! УРА!!!

Пример 2 Найти угловой коэффициент прямой Решение: Поскольку напрямую из параметрического уравнения найти угловой коэффициент на получится, то нужно перейти к уравнению с угловым коэффициентом. А сделать это можно в несколько этапов. Для начала переходим к каноническому уравнению. Этот переход уже рассматривался раньше Из уравнения: Составляем каноническое уравнение: Теперь переходим к общему уравнению прямой с угловым коэффициентом путём перемножения накрест дробей канонического уравнения (ведь это пропорция) и приведения подобных – общее уравнение прямой с угловым коэффициентом Из уравнения: Так как , то Примечание: прямую можно построить или по 2 -м точкам, или по точке и углу

Расстояние от точки до прямой Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра опущенного из точки на данную прямую Обозначается: d – основание перпендикуляра

Пусть прямая заданна уравнением и Тогда где – координаты точки М 0 – коэффициенты из общего уравнения прямой

Пусть прямая задана уравнением этой прямой от точки . Найти расстояние до Решение: Но как? ? ? Вспоминаем формулу расстояния от точки до прямой: Подставляем в формулу известные нам данные из уравнения прямой, а также координаты точки (ед. длины)

Вывод нормального уравнения прямой Пусть прямая задана общим уравнением , Введём новое обозначение – нормирующий множитель Знак однозначен, и выбирается противоположным знаку С прямой – знак Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, необходимо его домножить на нормирующий множитель

В данном уравнении коэффициенты при x и y являются значениями направляющих косинусов прямой (т. е. косинусов углов, которые прямая образует с координатными осями) Y – расстояние до прямой от начала координат С учётом введённых обозначений: 0 Замечание: X Нормальное уравнение прямой

Выяснить, является ли уравнение прямой нормальным, если нет, то привести к нормальному виду, определить значения направляющих косинусов и расстояние от прямой до начала координат. а) Решение: В нормальном уравнении прямой коэффициентами перед x и y должны быть значения направляющих косинусов. На их местах стоят числа 2 и – 3, которые никак не могут быть значениями косинусов ( ), а значит данное уравнение не является нормальным Приведём данное уравнение к нормальному виду Вычисляем нормирующий множитель Из уравнения Умножаем общее уравнение прямой на найденный нормирующий множитель – Нормальное уравнение прямой

Чтобы проверить, является ли полученное уравнение нормальным, воспользуемся замечанием: – верно Из уравнения находим значение направляющих косинусов и расстояние от прямой до начала координат – направляющие косинусы – расстояние от прямой до начала координат

б) Решение: Если в первом примере было очевидно, что коэффициенты при x и y не являются значениями направляющих косинусов, то в данном примере без проверки не обойтись – значит уравнение не является нормальным Приводим уравнение к нормальному виду аналогично первому примеру Выполним проверку: Умножаем общее уравнение на нормирующий множитель - искомое

Вычисление расстояния от прямой до начала координат Расстояние от прямой до начала координат можно вычислить двумя способами: Y 1) Как расстояние от точки (0; 0) до прямой (прошлая тема) 2) Приведя уравнение к нормальному виду 0 X

Л ЕКЦИЯ 3 1) Взаимное расположение на плоскости прямых, заданных ü каноническими уравнениями ü общими уравнениями ü уравнениями с угловым коэффициентом 2) Вычисление угла между прямыми, заданными ü каноническими уравнениями ü общими уравнениями ü уравнениями с угловым коэффициентом

Взаимное расположение прямых на плоскости Существует четыре варианта расположения двух прямых на плоскости Прямые параллельны Прямые перпендикулярны Прямые совпадают Прямые пересекаются под произвольным углом Замечание: совпадение прямых является частным случаем параллельности; перпендикулярность – частным случаем пересечения под произвольным углом

Угол между прямыми Углом между прямыми называется угол, на который нужно повернуть первую прямую до её совпадения со второй

Пусть Так как прямые параллельны, то их направляющие вектора коллинеарны Так как направляющие вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны При этом координаты точки не удовлетворяют уравнению прямой

Так как совпадение прямых является частным случаем параллельности, то направляющие вектора прямых по прежнему коллинеарны Так как прямые перпендикулярны, то их направляющие вектора также перпендикулярны Так как направляющие вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны При этом координаты точки удовлетворяют уравнению прямой Так как направляющие вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0

Точка пересечения прямых находится из системы уравнений обеих прямых Угол между прямыми находится как угол между их направляющими векторами

Пусть Так как прямые Так как нормальные вектора параллельны, то их коллинеарны, то их нормальные вектора координаты пропорциональны. коллинеарны Так координаты точки прямой не подходят для прямой.

Так как прямые совпадают, то их нормальные вектора по прежнему коллинеарны Так как нормальные вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. И точка прямой принадлежит прямой , т. е. Так как прямые перпендикулярны, то их нормальные вектора также перпендикулярны Так как нормальные вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0

Точка пересечения прямых находится из системы уравнений обеих прямых Угол между прямыми находится как угол между их нормальными векторами

Пусть Так как прямые параллельны, значит они пересекают ось Ox под одинаковым углом При этом , так как точка прямой подходит уравнению прямой. Итого: не

Так как прямые совпадают, значит они пересекают ось Ox под одинаковым углом При этом точки пересечения с осью Oy совпадают у обеих прямых Итого: Так как прямые перпендикулярны, то – условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом

Точка пересечения прямых находится из системы уравнений обеих прямых Углом между прямыми называется угол, на который нужно повернуть первую прямую до её совпадения со второй

Вычисление угла между прямыми 1) Пусть прямые заданы каноническими уравнениями Угол между прямыми находится как угол между их направляющими векторами

2) Пусть прямые заданы общими уравнениями Угол между прямыми находится как угол между их нормальными векторами

3) Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом – угол между прямыми и Мы уже на финишной прямой!!!! Осталось последнее замечание! Потом ещё пара примеров… И ВСЁ!!! Путь к КОТРОЛЬНОЙ открыт!

Прямые и (если они не перпендикулярны и не параллельны) всегда образуют два угла (один из которых острый, второй – тупой). Если при нахождении или значение >0, то мы нашли острый угол, а если значение <0 – то тупой угол. Как следствие, если мы в данных формулах берём значения по модулю, то мы находим острый угол между прямыми.

Найти угол между прямыми 1) Решение: Так как прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то вспоминаем формулы для этого типа уравнений Из уравнений: Подставляем угловые коэффициенты обеих прямых в формулу и находим Ответ:

2) Решение: Прямые заданы параметрическими уравнениями Данные прямые, также как и прямые, заданные каноническими уравнениями, задаются при помощи точки, принадлежащей прямой, и НАПРАВЛЯЮЩЕГО ВЕКТОРА Значит, угол между прямыми находим, как угол между их направляющими векторами Из уравнений находим координаты обоих направляющих векторов Ответ: