Презентация на тему Задачи на применение геометрических мест

Презентация на тему Задачи на применение геометрических мест точек Подготовил: Мокин Н. А. студент ПГС II-1 Научный руководитель: Степура Е. А. , доц.

Геометрические места точек В геометрии термин "геометрическое место точек (прямых)" (далее ГМТ) прежде всего означает множество точек (прямых), на которые накладываются определенные геометрические ограничения. Само понятие "множество" является одним из самых основных, неопределяемых понятий всей математики, явного формального определения ему не дается.

Примерами геометрических мест точек, создающих определенные геометрические фигуры (линии и поверхности) могут быть: Множества точек равноудаленных от каких-либо нескольких объектов. Множества точек, расположенных на определенном расстоянии от заданного объекта. Множества прямых с различными условиями, касательно угла наклона и прохождения через заданную точку и др. Более подробно рассмотрим эти примеры вместе с иллюстрирующими их чертежами.

ГМТ, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ДВУХ ЗАДАННЫХ ТОЧЕК А И В - ЭТО ПЛОСКОСТЬ Α, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ ОТРЕЗКА АВ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ЕМУ; ГМТ, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ДВУХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПЛОСКОСТЕЙ Α И Β - ДВЕ БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ Γ И Δ;

ГМТ, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ТРЁХ СФЕР ОДИНАКОВОГО РАДИУСА С ЦЕНТРАМИ А, В, С – ПРЯМАЯ N, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ АВС И ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ, ВПИСАННОЙ В ΔАВС

ГМТ, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ПЛОСКОСТИ Α И ОТ ПРЯМОЙ N, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ - КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ С ВЕРШИНОЙ В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ О. ОСЬ ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ - ЗАДАННАЯ ПРЯМАЯ, УГОЛ НАКЛОНА ОБРАЗУЮЩЕЙ – 45º (НИЖНЯЯ ЧАСТЬ НЕ ПОКАЗАНА)

ГМТ, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ПРЯМОЙ L (ДИРЕКТРИСЫ) И ЗАДАННОЙ ТОЧКИ O (ФОКУСА) - ПАРАБОЛА. ИЛИ ЖЕ МОЖНО СКАЗАТЬ И ТАК: ГМ ЦЕНТРОВ ОКРУЖНОСТЕЙ, КАСАЮЩИХСЯ ДАННОЙ ПРЯМОЙ L И ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ O

ГМТ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА РАССТОЯНИИ R ОТ ЗАДАННОЙ ТОЧКИ О - СФЕРА РАДИУСА R С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ О (БЕЗ ПРИМЕРА) ОТ ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ I - ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ С ОСЬЮ I РАДИУСА R;

ГМТ, УДАЛЕННЫХ ОТ ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ Α НА РАССТОЯНИЕ R – 2 ПЛОСКОСТИ Β И Γ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ДАННОЙ И ОТСТОЯЩИЕ ОТ НЕЕ НА РАССТОЯНИИ R;

РАВНОНАКЛОНЕННЫЕ К НЕКОТОРОЙ ПРЯМОЙ I ЯВЛЯЮТСЯ ОБРАЗУЮЩИМИ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ С ВЕРШИНОЙ В ДАННОЙ ТОЧКЕ О И ОСЬЮ I. ПРЯМЫЕ, ПРОХОДЯЩИЕ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ И РАВНОНАКЛОНЕННЫЕ К НЕКОТОРОЙ ПЛОСКОСТИ - ЯВЛЯЮТСЯ ОБРАЗУЮЩИМИ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ С ВЕРШИНОЙ В ДАННОЙ ТОЧКЕ.

А теперь рассмотрим несколько задач, которые довольно трудно решить, не опираясь на свойства и определения ГМТ. Задача 1. Построить шар радиуса R, катящийся по наклонной плоскости P, в момент его столкновения с конусом, ось которого не перпендикулярна плоскости P.

Сфера (поверхность шара) - это множество точек, удаленных от центра на расстояние R. Положение сферы однозначно задается положением её центра. Касание сферы и конуса произойдет в тот момент, когда центр сферы будет находится на расстоянии R от поверхности конуса. Для того, чтобы определить этот момент, построим коническую поверхность, отстоящую от данной на расстоянии R. Траекторией движения центра сферы до столкновения будет прямая, параллельная ЛНС.

Найдя точку К пересечения этой прямой с построенной конической поверхностью, мы получим искомое положение центра сферы. Для этого воспользуемся стандартным алгоритмом нахождения точки пересечения с «большим» конусом, воспользовавшись треугольным сечением конуса.

Осталось только начертить 2 окружности заданного радиуса, которые и будут проекциями сферы. Для нахождения точки касания можно воспользоваться заменой плоскостей проекций, но в данной работе мы этого делать не будем.

Задача 2. Построить проекции точки А, вращающейся вокруг прямой i, в момент, когда она будет удалена от точки В на расстояние R.

Точка А будет двигаться по окружности с центром на прямой i, в плоскости P перпендикулярной прямой i. Построим ГМТ, удаленных от В на расстояние R - сферу с центром в точке В и радиусом R. Теперь найдя точку пересечения сферы и окружности-траектории точки А, мы найдем требуемое положение этой точки.

Для этого совмещением построим натуральную величину сечения сферы плоскостью P и найдем точки пересечения А* и А** окружности-траектории и сечения. Это и будут 2 положения точки А, при которых она удовлетворяет заданным условиям.

Здесь показано возвращение точек А* и А** на исходный чертеж.

Задача 3. Построить пирамиду SABC у которой все плоские углы при вершине S прямые. Можно переиначить задачу: построить начало трёхмерной декартовой системы координат, зная положение трёх точек, лежащих на осях.

Для начала дадим некоторое пояснение. Из школьной геометрии известно, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой. Из начертательной геометрии известно, что любое плоское сечение сферы – окружность. Тогда , если АВ – диаметр , а С – точка поверхности сферы, то т. к. АВ – диаметр окружности-сечения сферы плоскостью АВС, то угол АСВ – прямой. Иными словами, сфера с диаметром АВ – ГМ вершин всевозможных прямоугольных треугольников с гипотенузой АВ

Т. к. у пирамиды SABC все углы при вершине S прямые, то 3 неизвестные грани – это прямоугольные треугольники с гипотенузами АВ, ВС и АС соответственно. Построив сферы с диаметрами АВ, ВС, СА мы найдем ГМ всевозможных вершин каждой из прямоугольных граней. Вершина S принадлежит всем прямоугольным граням, поэтому найдем ее как точку пересечение этих трёх сфер. (Возможно 2 решения)

Сначала найдем окружность пересечения двух сфер, а потом ее пересечение с третьей с помощью совмещения плоскости, в которой лежит окружность пересечения двух первых сфер

Построим искомую пирамиду SABC просто соединив точки А, В и С с точкой пересечения сфер S.

Задачи на геометрические места точек весьма занятны и позволяют по новому взглянуть на известные вещи. Умение их решать предоставляет возможность проектирования различных фигур и поверхностей с заранее заданными геометрическими свойствами, различными и разнообразными комбинациями условий, что является выгодным качеством любого конструктора. Спасибо за внимание!