Презентація на тему Теорія масового обслуговування ТМО Підготували

Презентація на тему “Теорія масового обслуговування(ТМО) ” Підготували : студенти групи ПМ-3 Кутненко Анастасія та Кучер Аліна 1

Зміст 1. Основні поняття ТМО. 2. Класифікація систем масового обслуговування (СМО). 3. Основні елементи СМО. 2

1. Основні поняття теорії масового обслуговування. ТМО — сучасна математична дисципліна, яка займається розробкою математичних моделей процесів масового обслуговування. 3

Приклади СМО Телефонні системи Банки 4

Приклади СМО Перукарні Ресторани швидкого приготування їжі, супермаркети 5

Приклади СМО Бензоколонки Ремонтні майстерні 6

Початком формування ТМО стала робота А. К. Ерланга “Теорія ймовірностей і телефонні переговори” (1909), де розглядалися задачі, пов‘язані з роботою телефонних станцій. Агнер Краруп Ерланг (1878— 1929) — датський математик, статистик та інженер, засновник наукового напрямку по вивченню трафіку у телекомунікаційних системах і теорії масового обслуговування. Двадцять років він працював в Копенгагенській телефонній компанії. 7

Хінчин Олександр Якович 19. VII 1894 – 18. XI 1959 Дослідження відносяться до теорії ймовірностей, математичній логіці, теорії функцій, теорії чисел, математичному аналізу, теорії масового обслуговування. З 1930 року займався створенням ТМО. 8

Вихідні потоки Обслуговуюча система Засоби обслуговування Черга об‘єктів Вхідний потік заявок обслужені не обслужені 9

2. Класифікація систем масового обслуговування 10

СМО система з відмовами система з очікуванням система змішаного типу одноканальна багатоканальна замкнута багатоканальна розімкнута 11

В системі з відмовами заявка, яка поступила в систему на той момент, коли всі обслуговуючі апарати зайняті, отримує відмову і залишає систему необслуженою. Тому такі системи часто називають “системами з втратами”. 12

Системи масового обслуговування з відмовами Постановка задачі Нехай є СМО з n приладами обслуговування. Тривалість обслуговування заявки описується показниковим законом розподілу з параметром На вхід системи надходить найпростіший потік заявок, який описується пуассоновським законом розподілу з параметром . 13

Заявка, що надійшла на вхід системи в момент зайнятості всіх приладів обслуговуванням залишає систему. Необхідно оцінити роботу такої СМО, тобто визначити критерії ефективності СМО з відмовами. Суть дослідження: -знаходяться ймовірності станів Рk(t), для цього складаються і розв'язуються диференціальні рівняння ймовірностей Рk(t). -на основі ймовірностей Рk(t) знаходяться числові характеристики системи. 14

Одноканальна СМО з відмовами p 0(t) λ p 1(t) S 1 S 0 μ Треба знайти: 1. абсолютну пропускну спроможність СМО (А); 2. відносну пропускну спроможність СМО (q). 15

Мнемонічне правило: Ліва частина кожного рівняння містить похідну ймовірності відповідного стану. Права частина має стільки членів, скільки стрілок пов‘язано з даним станом. Якщо стрілка напрямлена із стану, то відповідний член має знак “мінус”; якщо у стан—знак “плюс”. Кожен член дорівнює добутку щільності ймовірності переходу, що відповідає даній стрілці і ймовірності того стану з якого виходить стрілка. 16

Початкові умови: p 0(t) λ p 1(t) S 1 S 0 μ 17

Розв’язавши цю систему, одержимо: 18

p 0, p 1 1 p 0(t) p 1(t) 0 t 19

Параметри одноканальної СМО з відмовами Число каналів обслуговування n=1 Інтенсивність вхідного потоку Інтенсивність (продуктивність) обслуговування , середній час обслуговування t обс 20

Граничні характеристики ефективності одноканальної СМО Ймовірність того, що канал вільний ( обслуговування) Ймовірність відмови (канал зайнятий) Відносна пропускна спроможність Абсолютна пропускна спроможність А=λq 21

Середній час обслуговування Середній час перебування заявки у системі 22

Приклад 1 Нехай одноканальна СМО з відмовами являє собою один пост щоденного обслуговування для мийки автомобілів. Заявка - автомобіль, який прибув в момент, коли пост зайнятий, - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів λ 1, 0 (автомобіль на годину). Середня тривалість обслуговування - tоб = 1, 8 години. Потрібно визначити в сталому режимі граничні значення: - відносної пропускної спроможності q; - абсолютної пропускної здатності А; - імовірності відмови Рвідм; Порівняти фактичну пропускну здатність СМО з номінальною, яка була б, якби кожен автомобіль обслуговувався точно 1, 8 години і автомобілі слідували один за іншим без перерви. 23

Розв′язання: Визначимо інтенсивність потоку обслуговування: Обчислимо відносну пропускну здатність: Величина q означає, що в установленому режимі система буде обслуговувати приблизно 35% автомобілів, що прибувають на пост. Абсолютну пропускну здатність визначимо за формулою: А = λ × q = 1 × 0, 356 = 0, 356. 24

Імовірність відмови: Рвідм = 1 -q = 1 -0, 356 = 0, 644. Це означає, що близько 65% автомобілів, що прибули на пост отримають відмову в обслуговуванні. Визначимо номінальну пропускну здатність системи: , (автомобілів за годину) Виявляється, що Аном в (0, 555/0, 356 ≈ 1, 5) рази більше, ніж фактична пропускна здатність, що обчислена з урахуванням випадкового характеру потоку заявок і часу обслуговування. 25

Багатоканальна СМО з відмовами(задача Ерланга) Граф станів для багатоканальної СМО з відмовами 26

Багатоканальна СМО з відмовами(задача Ерланга) Абсолютна пропускна здатність: де n – кількість каналів СМО, p - ймовірність знаходження СМО в початковому стані, коли всі канали вільні 0 27

Багатоканальна СМО з відмовами(задача Ерланга) Граф станів для схеми “гибелі та розмноження” 28

Багатоканальна СМО з відмовами(задача Ерланга) Відносна пропускна здатність: • Ймовірність відмови: Ймовірність того, що заявка покине СМО, не обслуженою. 29

Багатоканальна СМО з відмовами(задача Ерланга) Середнє число зайнятих каналів: 30

Приклад 2 Нехай n-канальна СМО являє собою обчислювальний центр (ОЦ) з трьома (n = 3) взаємозамінними ПЕОМ для вирішення завдань, що надходять. Потік завдань, що надходять на ОЦ, має інтенсивність λ = 1 завдання на годину. Середня тривалість обслуговування tоб = 1, 8 год. Потрібно обчислити значення: - Імовірності числа зайнятих каналів ОЦ; - Імовірності відмови в обслуговуванні заявки; - Відносної пропускної спроможності ОЦ; - Абсолютної пропускної здатності ОЦ; - Середнього числа зайнятих ПЕОМ на ОЦ. Визначте скільки додатково треба придбати ПЕОМ, щоб збільшити пропускну здатність ОЦ в 2 рази. 31

Розв′язання: Визначимо параметр μ потоку обслуговувань: Приведена інтенсивність потоку заявок: Граничні ймовірності станів знайдемо за формулами Ерланга: 32

Імовірність відмови в обслуговуванні заявки: Відносна пропускна здатність ОЦ: Абсолютна пропускна здатність ОЦ: Середнє число зайнятих каналів – ПЕОМ: Таким чином, при установленому режимі роботи СМО в середньому буде зайнято 1, 5 комп'ютери з трьох - решта півтора будуть простоювати. Роботу розглянутого ОЦ навряд чи можна вважати задовільною, так як центр не обслуговує заявки в середньому в 18% випадків (Р 3 = 0, 180). Очевидно, що пропускну здатність ОЦ за даних λ і μ можна збільшити тільки за рахунок збільшення числа ПЕОМ. 33

Визначимо, скільки потрібно використати ПЕОМ, щоб скоротити число необслужених заявок, що надходять на ОЦ в 10 разів, тобто, щоб ймовірність відмови у вирішенні завдань не перевищувала 0, 0180. Для цього використаємо формулу ймовірності відмови: Складемо наступну таблицю Аналізуючи дані таблиці, слід зазначити, що розширення числа каналів ОЦ при даних значеннях λ і μ до 6 одиниць ПЕОМ дозволить забезпечити задоволення заявок на вирішення завдань на 99, 22%, так як при n = 6 ймовірність відмови в обслуговуванні (Рвідм) становить 0 , 0078. 34

СМО з очікуванням В системі з відмовами заявка, яка надійшла в систему на той момент, коли всі обслуговуючі апарати зайняті, стає в чергу і очікує початку обслуговування в порядку черги. При цьому черга може бути неорганічно довгою і заявка може покинути систему лише тоді, коли вона буде повністю обслуженою. Прикладом такої системи є система ремонту поламаної техніки. 35

Одноканальна СМО з очікуванням і обмеженою чергою СМО має один канал. Вхідний потік заявок на обслуговування має інтенсивність λ. Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює μ. Тривалість обслуговування - випадкова величина, підпорядкована показниковому закону розподілу. Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування. Розглянемо систему з обмеженою чергою. Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог надходить на вхід обслуговуючої системи, дана система (черга + обслуговуючі клієнти) не може вмістити більше N-вимог , з яких одна обслуговується, а (N-1) очікують, Клієнти, котрі не потрапили в чергу, змушені обслуговуватися в іншому місці і такі заявки втрачаються. 36

Позначимо - ймовірність того, що в системі знаходиться n заявок. Ця величина обчислюється за формулою: Де - приведена інтенсивність потоку. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: 37

Характеристики СМО з очікуванням і обмеженою чергою Ймовірність відмови в обслуговуванні заявки: Pвід= відносна пропускна здатність системи: 38

Абсолютна пропускна здатність: А=q∙λ; середнє число заявок що знаходяться в системі середній час перебування заявки в системі: середня тривалість перебування клієнта (заявки) в черзі: Wq = Ws-1 / μ; середнє число заявок (клієнтів) в черзі (довжина черги): Lq = λ (1 -PN) Wq. 39

Одноканальна СМО з очікуванням і необмеженою чергою Стійке рішення в такій системі існує тільки тоді, коли λ <μ, тобто заявки повинні обслуговуватися з більшою швидкістю, ніж надходять, в іншому випадку черга може розростися до нескінченності. Імовірність того, що в системі знаходиться n заявок, обчислюється за формулою де r = λ / μ <1. 40

Характеристики одноканального СМО з очікуванням і необмеженою чергою Середнє число заявок , що знаходяться в системі на обслуговування: середня тривалість перебування клієнта в системі: середнє число клієнтів в черзі на обслуговування : середня тривалість перебування клієнта в черзі: Wq= 41

Багатоканальна система масового обслуговування з очікуванням Розглянемо багатоканальну систему масового обслуговування з очікуванням. Процес масового обслуговування при цьому характеризується наступним: вхідний і вихідний потоки мають інтенсивності λ і μ відповідно, паралельно обслуговуватися можуть не більше З клієнтів, тобто система має C каналів обслуговування. Середня тривалість обслуговування одного клієнта дорівнює: 42

Ймовірності того, що в системі знаходяться n заявок (С обслуговуються, решта чекають у черзі) дорівнює: де Рішення буде дійсним, якщо виконується така умова: 43

Характеристики багатоканального СМО з очікуванням і необмеженою чергою Cереднє число клієнтів в черзі на обслуговування: Середнє число що знаходяться в системі клієнтів (заявок на обслуговування і в черзі) LS=Lq+ρ; середня тривалість перебування клієнта (заявки на обслуговування) у черзі: середня тривалість перебування клієнта в системі: 44

Приклад 3 Спеціалізований пост діагностики являє собою одноканальну СМО. Число стоянок для автомобілів, які очікують проведення діагностики, обмежене і дорівнює 3, тобто (N-1) = 3. Якщо всі стоянки зайняті, тобто в черзі вже знаходиться три автомобілі, то черговий автомобіль, який прибув на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, що прибувають на діагностику має інтенсивність λ = 0, 85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілений по показниковому закону і в середньому дорівнює = 1, 05 год. Потрібно визначити імовірнісні характеристики поста діагностики, що працює в стаціонарному режимі. 45

Розв′язання: Інтенсивність потоку обслуговувань автомобілів: Наведена інтенсивність потоку автомобілів визначається як відношення інтенсивностей λ і μ, тобто: Обчислимо ймовірності знаходження n заявок у системі: P 1=r∙P 0=0, 893∙ 0, 248=0, 221; P 2=r 2∙P 0=0, 8932∙ 0, 248=0, 198; P 3=r 3∙P 0=0, 8933∙ 0, 248=0, 177; P 4=r 4∙P 0=0, 8934∙ 0, 248=0, 158. 46

Імовірність відмови в обслуговуванні автомобіля: Pвідм=Р 4=r 4∙P 0≈0, 158. Відносна пропускна спроможність посту діагностики: q=1–Pвідм=1 -0, 158=0, 842. Абсолютна пропускна спроможність посту діагностики: А=λ∙q=0, 85∙ 0, 842=0, 716 (автомобиля за годину). Середнє число автомобілів, що перебувають на обслуговуванні і в черзі (тобто в системі масового обслуговування): 47

Середній час перебування автомобіля в системі: години. Середня тривалість перебування заявки в черзі на обслуговування: Wq=Ws-1/μ=2, 473 -1/0, 952=1, 423 години. Середнє число заявок в черзі (довжина черги): Lq=λ∙(1 -PN)∙Wq=0, 85∙(1 -0, 158)∙ 1, 423=1, 02 Роботу розглянутого поста діагностики можна вважати задовільною, так як пост не має автомобілів в черзі в середньому в 15, 8% випадків (Рвідм= 0, 158 48

Змішані системи обслуговування Потрібно виділити два класи змішаної СМО. а)В деяких системах заявка стає в чергу в тому випадку, коли довжина черги не перевищує деякого числа m. В протилежному випадку заявка покидає систему не обслуженою. Наприклад: На прийом до лікаря можна записатися лише у випадку коли черга не дуже велика. 49

б) Потрібно відмітити і такі системи в, яких умовою відхилення заявки є час перебування в черзі. В таких системах час перебування в черзі є випадковою величиною. Наприклад: літаки, які ідуть на посадку, створюють вхідний потік заявок. Але час очікування в черзі в них обмежене, через обмежені запаси пального. При не змозі прийняти літак, протягом деякого проміжку часу, він повинен бути зарання направлений на інші аеродроми. 50

СМО з обмеженим та необмеженим числом обслуговуючих апаратів До систем з необмеженим числом обслуговуючих апаратів треба віднести ті системи, в яких заявки, які надійшли, відразу починають обслуговуватися. В таких системах немає черги, і заявки, що надійшли не можуть отримати відмови. Прикладом може бути система доставки негайної пошти, в якій немає ні черг, ні відмов. 51

Однофазні і багатофазні СМО Під багатофазними системами розуміються такі, в яких процес обслуговування проходить пофазно. Заявка, яка надійшла, спочатку обслуговується в першій фазі, після закінчення вона переходить в другу і т. д. Заявка буде обслуженою повністю, якщо вона буде обслуженою у всіх фазах. Наприклад: технічне обслуговування автобусів в автопарку. 52

Упорядковані і неупорядковані СМО Якщо апарат обслуговуючої системи розміщений послідовно і наступна заявка надходить спочатку першому з них, і якщо він зайнятий, передається другому і т. д. , то таку систему називають упорядкованою. Системи в яких заявка іде на обслуговування до будь-якого вільного обслуговуючого апарату, називається невпорядкованою. 53

Системи з пріоритетами Нехай в систему на обслуження надходять заявки двох типів. Кажуть що заявки I типу володіють відносним пріоритетом перед заявками II типу, якщо заявки обох типів створюють різні черги і в момент закінчення черги наступні заявки вибираються із черги заявок I типу, якщо в системі нема заявок I типу то тоді на обслуговування приймаються заявки II типу. Прикладом такої системи є система зв'язку, яка складається з звичайних і термінових телеграм. 54

Другою формою пріоритету є абсолютний пріоритет. Заявки I типу мають абсолютний пріоритет заявками II типу, якщо в момент надходження заявки I типу, обслуговування заявок II типу переривається і починається обслуговування заявки, що надійшла. Заявки II типу або покидають систему не обслуженими або стають в чергу. 55

3. Основні елементи систем масового обслуговування Вхідний потік (заявок, замовлень) — це послідовно надходженні у систему на обслуговування об‘єкти. В ТМО вхідні потоки як правило пуассонівські. Засоби (канали, прилади) обслуговування — це, в загальному випадку колективи людей, що застосовують технічні засоби, або сукупність автоматів, що працюють під наглядом людини. 56

Випадкові потоки подій стаціонарність ординарність відсутність післядії 57

Вхідний потік називається стаціонарним, якщо для будь-якого натурального n, будь-яких натуральних моментів часу t 1, t 2, …, tn, і будь-якого a>0 сумісний розподіл випадкових величин X(t 1+a) – X(a), X(t 2+a) – X(a), …, X(tn+a) – X(a) не залежить від a. • Потік вимог називається потоком без післядії , якщо для будьяких моментів часу t 0, t 1, …, tk (t 0<t 1<…<tk) випадкові величини X(t 0), X(t 1)-X(t 0) , …, X(tk)-X(tk-1) будуть взаємно незалежними. Позначимо через Ψ(t) ймовірність появи за проміжок часу [0; t] принаймні 2 вимог. • Стаціонарний потік вимог називається ординарним, якщо : • Ординарність потоку вимог виражає собою умову неможливості появи двох чи більше вимог в один і той самий момент часу. 58

Черга об‘єктів які чекають обслуговування, створюється із-за випадковості моментів надходження об‘єктів і випадковості часу на обслуговування, у зв‘язку з недостатнім числом засобів обслуговування. Вихідні потоки об‘єктів — це випадкові об‘єкти (обслужені і не обслужені), які покидають систему. Числові характеристики вихідних потоків є показниками ефективності системи у цілому. 59

СМО з відмовами А абсолютна пропускна спроможність q відносна пропускна спроможність СМО середнє число зайнятих каналів k середній відносний час простою СМО і окремого каналу 60

СМО з очікуванням середнє число заявок у черзі середнє число заявок у системі середній час очікування у черзі середній час перебування заявки у системі 61

Параметри системи число каналів n інтенсивність потоку заявок продуктивність кожного каналу умови створення черги 62

Графічно потік подій можна уявити як послідовність точок t 1, t 2, …, tk, . . на числовій осі часу [0, t] , що відповідають моментам появи подій: t 1 0 t 2 t 3 tk t 63

Найпростіший потік. Ймовірність появи рівно k заявок в інтервалі часу довжиною t визначається формулою Пуассона: де > 0 - стале число, яке називається параметром потоку, воно являє собою середнє число заявок, що надійшли в одиницю часу, або так звану середню щільність потоку. 64

Час обслуговування. Як правило має показниковий закон розподілу Параметр μ називається інтенсивністю обслуговування. Величина, обернена до μ (1/μ) , є середнім часом обслуговування tобс, тобто 65