Презентация на тему: «Кванторы и предикаты»
• Ква нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…» , «для каждого…» или «каждый…» , «любой…» , «для любого…» ). Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…» ). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x» .
Примеры кванторов n Обозначим P(x) предикат «x делится на 5» . Используя квантор общности, можно формально записать следующее высказывания (конечно, ложные): любое натуральное число кратно 5; каждое натуральное число кратно 5; все натуральные числа кратны 5; n следующим образом: n n n n Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования: существуют натуральные числа, кратные 5; найдётся натуральное число, кратное 5; хотя бы одно натуральное число кратно 5.
История появления Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г. , в книге Фреге «Исчисление понятий» . Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения для квантора существования, предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г. , и для квантора общности, образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы англ. exists, all — существует, все). Термины «квантор» , «квантификация» также предложил Пирс.
Определение предикатов Предика т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — любое математическое высказывание, в котором есть по меньшей мере одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.
Примеры предикатов n n Например, обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства ( «x = y» ), где x и y принадлежат множеству вещественных чисел. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y. Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y, z) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y» , где множество M — это множество всех людей. Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения. x, y, z предналежит R
Операции над предикатами n Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.
n n n n Для всех из нас любой поймёт Есть год, в который мы родились Так значит существует год, Когда мы все на свет явились Так значит папа, ты и Друг другу сверстниками стали, Не лги, мой сын, менять нельзя Свободно кванторы местами
