Презентация n 5vortex line shot 2013

3 Компоненты ротора скорости: y u x u z u y u xy z zx y yz x Вихревые линии — линии, направление которых совпадает всюду с мгновенной осью вращения жидкости. u rot

4 Дифференциальное уравнение вихревых линий zyx dzdydx Если через каждую точку малой замкнутой кривой провести соответствующую вихревую линию, то получим трубку, которая называется вихревой трубкой. Жидкость внутри трубки образует вихревую нить или просто вихрь.

5 Задача Заданы распределения вихря и дивергенции скорости в любой точке жидкости, нормальная составляющая скорости на поверхности, ограничивающей данный объем жидкости

6 Предположения 1. Жидкость заполняет все пространство, 2. находится в покое на бесконечности. 3. Заданы вихрь скорости Ω расхождение (дивергенция) скорости , равные 0 вне объема . 4. Область может быть разложена на конечное число частей, в которых и Ω равномерно непрерывны, так же как и их частные производные.

75. На поверхностях разрыва нормальная составляющая Ω остается непрерывной Искомую скорость u будем рассматривать как сумму двух слагаемых: одно определяется расхождением скорости, и ее вихрь равен нулю, а второе – ротором скорости, а ее дивергенция равна нулю.

8 Скорость задается уравнениями: 0 v 0 v v 22 111 21 udirotu urotuudi uuu rotuudi существует

9 22 22 22 zyx. Для определения u 1 получаем уравнение Пуассона Предположим, что функция Θ равна 0 всюду, кроме очень малой окрестности τ 0 начала координат, причем 1 0 d

10 00 s ndsuud По теореме Гаусса Т. е. объемный интеграл от расхождения вектора скорости равен потоку вектора скорости через поверхность S 0 , ограничивающую объем τ 0. Поток должен равняться единице в силу предположения 1 0 d

11 Пусть τ→ 0. Получаем картину течения от точечного источника в начале координат интенсивности 1. В силу симметрии потенциал скорости φ – функция только r φ всюду, кроме начала координат, удовлетворяет уравнению Лапласа 222 zyxr 0 22 22 22 zyx

120 0 2 r rr φ – функция только r , в сферических координатах нет зависимости от широты и долготы. Сonst r r 2 Интегрируем:

13 Произвольная постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольную сферу с центром в начале координат равен 1. На сфере нормальная составляющая скорости имеет постоянное значение: а площадь поверхности сферы равна 4 π r 22 r Const r 144 П 2 22 r r Const r r

14 r rr Const 4 1 4 12 Получаем: Произвольная постоянная не влияет на величину скорости течения и может быть отброшена

15 224 4 r q u r q r Предположим, что интенсивность источника имеет значение q qd В этом случае

16 Если задано распределение источников Θ ( ξ , η , ζ ) 222 4 , , zyxr d r zyx Где r расстояние от точки N ( x, y, z ) , где ищем поле скорости до точки М( ξ , η , ζ ), где расположен источник. Интегрировать надо по ( ξ , η , ζ ). q

17 d r u , , 4 1 1 0 v 1 1 rotu udi. Решение системы

18 Определим вектор u 2 для системы Удовлетворим второму уравнению, если положим где А – векторный потенциал. Тогда 0 v 22 udiurot Arotu 2 AAdivgrad. Arotrot Можно доказать тождество:

19 d rrotu d rzyx. A AAAA Adiv zzyyxx 4 1 , , 0 2 Получаем уравнение: AAdivgrad (Можно считать не нарушая общности)

20 d r Arotgradu

221 n 2 1 2 n 0 S n ds. Применяя к вихревой трубке свойство учитывая, что боковые поверхности трубки – есть вихревые линии, т. е. параллельны ротору скорости, получаем для суммарного потока вихря: 0 2211 2 ds

23 r d r d r d dsd dsd xdsd z y x zyx ; ; , cos

24 L z L y L x L rd A d r. AArotu 4; 4;

25 Lx y z xx d rz d ry u z A y A Arotu 11 4 222 zyxr

26 2 2 2 4 44 rds dsd r y dsd r x u rds dsd r x dsd r z u rds dsd r z dsd r y u Lz Ly Lx

271 2 ds x, y, z r k Составляющие единичного вектора kds d ; ; m Составляющие единичного вектора m r z r y r x ; ;

28 Вклад в величину скорости в точке ( x, y, z) от элемента вихревой трубки ds определяется выражением: 2 2 sin 44 r ds u rds mku dsds

29 Электродинамика: Сила, действующая на магнитный полюс в точке ( x, y, z) от элемента проводника ds , по которому течет ток (Био и Савара)

31 Пусть движение происходит в плоскости х, у. Вихревые линии являются прямыми, параллельными оси z. ξ , η , ζ – координаты точек вихревой трубки, ds – элемент дуги трубки 1 0 0; sss

32 Скорость жидкости в точке ( х, у) определяется: 0 4 4 3 3 z y x u d r y u Считая ξ , η , ( х, у, z ) постоянными, интегрируем

33 Достаточно рассматривать движение на плоскости 0 xy , причем вместо вихревой нити точку пересечения ее с плоскостью 0 xy. Будем называть ее точечным вихрем. Под влиянием такого вихря частицы жидкости двигаются по окружностям, центром которых является вихрь. Положительным соответствует движение против часовой стрелки. Вследствие симметрии движения центр вихря не будет смещаться.

34 Найти комплексный потенциал для точечного вихря.

35 yx yx yx iuu dz dw zz i w iziyxziz zzizzzz zz i r xiy iuu r x u r y u ; ln 2 ; ; 1 22 2 2 ;

36 Две параллельные прямые вихревые нити в точках z 1 и z 2. Показать, что нити всегда сохраняют одинаковое расстояние друг от друга и вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг общего центра С. Пусть циркуляция одной нити равна 1 , а второй 2 . r Запишите комплексный потенциал для 2 нитей.

3722 11 ln 2 zz iw Комплексная сопряженная скорость 2 2 1 1 1 2 zzizzidz dw iuu yx 2 2 1 1 * * 1 2 zzizzidt dz iuu yx

38 Скорость первого вихря в точке z 1 (сам на себя не действует)21 2 * 1 1 2 zzidt dz 12 1 * 2 1 2 zzidt dz Скорость второго вихря в точке z 2 Отделяем мнимые и действительные части. Обозначим расстояние между вихрями 2 212 yyxxr

39 4 2 2 2 3 2 1 2 2 2112 2 2121 r xx dtdy r yy dtdx 1 2 + constоткуда 0 22112 21 1 yy dtdy xx dtdx

40 const 21 2211 yy xx. Получаем интеграл движения центра инерции системы двух вихрей Точка С (центр инерции) с координатами 21 2211 ; yy yxx x cc Остается неподвижной во все время движения

41 4 2 2 2 3 2 1 2 2 2112 2 2121 r xx dtdy r yy dtdx Вычитаем из первого третье уравнение, из второго – четвертое. 2)( 2 212121 r xx dt yyd r yy dt xxd 21 xx 21 yy 0 )( )( 21 21 dt yyd yy dt xxd xx

42 const )( )( 2 21 r yyxx. Интегрируем и получаем: Расстояние между вихрями не меняется в процессе перемещения

4321 A B x СДва вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени на вещественной оси. 21 Найти скорости вихрей, расстояние до центра системы, угловую скорость вращения вихрей.

44 Вихревая нить с координатами и циркуляцией сообщает жидкости в точке ( х, у) скорость, компоненты которой равны, 22 2 2 yxr r x u r y u yx х( х, у)r r U 2 r uu. U yx 2 22 , 0 0 y

4521 A B xy 21 ВA V 2 2 1 AB V 2 1 2 ABх АВхх AС 21 2 1 21 1211 С O OOOOOOO С 0;

462 21 2 1 1 2 ABAС V Угловая скорость вращения вихрей вокруг центра С Где будет точка С, если вихри вращаются в одном направлении?

4721 x r. Два вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени на вещественной оси. 21 Найти скорости вихрей, расстояние до центра системы.

48 Скорость первого вихря в точке z 1 (сам на себя не действует)21 2 * 1 1 2 zzidt dz 12 1 * 2 1 2 zzidt dz Скорость второго вихря в точке z 2 Отделяем мнимые и действительные части. Обозначим расстояние между вихрями 2 212 yyxxr

49 r i irdt dz zzidt dz 22 1 2 11 * 2 * 1 21 1 * 2 * 1 Отделяем вещественную часть от мнимой : L uuuu yyxx 2 0 1 2121 Вихри перемещаются с постоянной скоростью, перпендикулярно прямой, соединяющей вихри в положительном направлении оси у

50 Одна вихревая нить в точке ( х, у ), циркуляция скорости внутри бесконечно малого сечения имеет постоянное значение. Найти центр системы

51 уy yхx x сс ху r r U 2 Центр одиночного вихря не смещается во времени.

52 Внутри круга радиуса а жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью . Определить скорость вне круга.

53 ху rr U 2 r a U аrotu 2 2 2 На границе вихря скорость равна a. а

54 Как будут двигаться 2 вихря радиуса а , если они имеют циркуляцию разного знака, но одинаковую по модулю? Вихри вращаются как твердое тело. А а В а А В

55 Движение двух вихрей с противоположным направлением вращения и С А 21 А С = V 1 =V 2 = Вихри двигаются по прямой с одинаковой скоростью АВ а 2 а В ABAС 21 2 ВA V 2 2 1 AB V 2 1 2 2 2 а

56 А а В а А В

57 а

58 Найти скорость перемещения вихря у твердой стенки

59 Так как скорость жидкости во всех точках плоскости симметрии направлена по касательной, то можно предположить, что эта плоскость образует твердую границу для жидкости. Таким образом систему « вихрь у твердой границы» можно смоделировать системой, представляющей собой пару вихрей. Вихрь у твердой границы будет перемещаться с постоянной скоростью а 2 аа V

60 В точке с координатами х, у находится прямая вихревая нить. Жидкость ограничена твердыми стенками, образующими прямой угол вдоль осей координат. Найти траекторию вихря.

61 x, y

62 Так как циркуляция скорости вихря постоянна, то течение стационарно. В этом случае траектория вихря совпадает с линией тока, проходящей через точку ( x, y ) Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль мнимой оси, поместим вихрь той же интенсивности, но с противоположным знаком циркуляции в точку ( — x, y ) (отразим вихрь)

6321 ln 2 zz i w x, y- x, y

64 Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль действительной оси, поместим вихри той же интенсивности, но с противоположными знаками циркуляции в точки ( — x, — y ) и ( x, — y )

65 x, y- x, y x, — y- x, — y 43 21 ln 2 ln 2 zz izz iw Надо найти потенциал в точке ( x, y )

66 22 22 ln 2)( ln. Re 2 ; )( ln 2 2 ln 2)22 ln( 22 ln 2 )(ln 2 )()ln 2 yx yx xy yix iw xy yix i yi iyix ix i iyxiyx iw На линии тока = const , т. е. const 22 22 yx yx

67 const 11 22 yxx, y- x, y x, — y- x, — y. Траектория вихря в углу, образованном твердыми стенками

78 расположенных в точках z 1 , …, z n и имеющих интенсивности 1 , …, n k k yx k n k k zzidzdw iuu zz izw 1 2 ln 2)( 1 1 Комплексный потенциал Комплексная скорость Записать скорость вихря в точке z p (k=p)

79 kpn pkk kp zzidtdz 1 2 1* Уравнение движения вихря в точке z p (k=p) Умножая на p и суммируя по переменной p от 1 до n , получаем в правой части 01 2 11 kpn pkk pkn kpp zzi Так как слагаемому с ( z p — z k ) соответствует слагаемое с ( z k — z p )

800 * 1 dt dz p n p p Следовательно Получаем constz pn p p * 1 Отделяем мнимую и действительную части

81 constyconstxpn p p 11 ; Если , то получаем интегралы движения центров инерции ( следствие 1) 01 n p p const y const x n p p pn p pp 11 11 ;

82 kpn pkk kp zzidtdz 1 2 1* Следствие 2 Уравнение движения вихря в точке z p (k=p) Умножая на p z p и суммируя по переменной p от 1 до n , получаем pk pkpn p pp idt dz z 2 1 * 1 Отделить мнимую и действительную части 1 pk k kp pzz z

8301 n p p pp dtdy y dtdx x pk pkn p p pp pp dtdx y dtdy x 1 Сумма моментов количеств движения масс p относительно начала координат не меняется со временем (1) (2)

84 const 0 1 22 n p ppp yx yx dt d (1)

85 const 1 2 n p ppr Сумма моментов инерции масс p относительно начала координат не меняется со временем

86 kpn pkk kp zzidtdz 1 2 1* Умножая выражения скорости на и суммируя по переменной p от 1 до n , получаем еще один интеграл dt dz p p constln n pk kppk r. Следствие

8721 А а В Такие вихри называются «парой вихрей» . Они являются плоской аналогией вихревому кольцу и обладает многими свойствами последнего.

88 Куда двигается кольцевой вихрь?

89 радиуса а лежит в плоскости х, у xyz линии тока в х 0 za ρ θβМ

90 Координаты точки М на вихревой нити в декартовой системе ( x, y, z ) 0 ; sin ; cos aa Расстояние от точки М на вихревой нити до точки N ( x, y, z ) 222 cos 2 )sinsin()coscos( zaar

91 AA rot. A A z A rot. A z AA rot. Az zz 11 1 (1)Запишем компоненты скорости через векторный потенциал d r AArotu L

92 const rd A d r. AArotu. L z L y L x L 4; 4;

930 cos 4 sin 4 2 02 0 z yx A r da A Для векторного потенциала в точке x, y, z

94 Для плоскости x, y при θ =0 AAAA yx ; b cxb xd aaz d r da A 2 0 cos 2 cos 0 sin 4 2 0 222 2 0 Вследствие симметрии задачи это справедливо для всех углов θ

950 A cos 4 0 sin 42 0 z A r da

96 Подставляем выражения векторного потенциала в (1) и находим компоненты скоростиrot. Au A uu z A u z 1 ; 0 ;

97 ОПРЕДЕЛИТЬ объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ , лежащий в плоскости перпендикулярной оси z с центром на оси z , через переменную А xyz линии тока в х 0 za ρ θβМ

98 Объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ , лежащим в плоскости перпендикулярной оси z с центром на оси z Aduddu zz

99 ОПРЕДЕЛИТЬ скорость перемещения круговой вихревой нити

100 2 02 cos 4 1)(1 0 0 ; 0 ; r da. A u z A u rza z

1010 а SS 1 xy ay ay u 1 u 0 1 1 yx u ay uuu Найти ротор скорости

1021 uu y u x uxy z Внутри слоя = const Разрыв скорости может быть смоделирован цепочкой вихревых нитей

103 Вихревой цилиндрический слой xrki k rez Интенсивность вихрей на элементе дуги r d dr Записать комплексный потенциал и комплексную скорость для точки z

104 Комплексный потенциал цилиндрического слоя в точке z 2 0 dln 2 i rez i r w Комплексная скорость 2 0 d 2 iyx rezir iuu Делим подинтегральное выражение на z , умножаем на ii rerez

105 z рассматривается как постоянная при интегрировании 2 02 0 ln 1 2 2 d 2 i i ii yx rez izir z-re rerez zir iuu

106 Если z внутри окружности, т. е. rz При изменении от 0 до 2 аргумент разности меняется на 2 , так как вектор обходит начало координат. Тогда i rez irez i 2 ln 2 0 z i rezr

107 Если z вне окружности, т. е. rz При изменении от 0 до 2 конец вектора обходит замкнутый путь не содержащий начала координат. Тогда i rez 0 ln 2 0 i rez z i rezr 0 Записать комплексную скорость внутри и вне цилиндра

108 Комплексная скоростьrz rz 021 2 2 i izir iuu yx zi r iuu yx движения нет внутри цилиндра вне цилиндра движение описывается воздействием вихревой нити интенсивности 2 r , расположенной в начале координат

110 U Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего постоянную скоростью U. Скорость потока равна по модулю скорости пары, но противоположна по направлению.

111= const а- аconst r r 2 1 , ln 2 , 2 21 aa. Линии тока вихревой пары А В

112 парыпотока VU Ux. Udxx. U Функция тока для течения, имеющего постоянную скорость вдоль оси ординат a. BAAB V пары 422 21 ax потока

113 Относительные линии тока вихревой пары 2 1 ln 22 r r a x 0 О на оси у и на овале О ( жирная линия ).

114 Жидкость внутри овала О движется вместе с вихрями. Жидкость вне овала О обтекает этот овал как твердый цилиндр. Полуоси овала О приблизительно имеют длину 2. 09 а и 1. 73 а.

115 Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для 1) случая двух вихрей одинаковой интенсивности 2) пары вихрей

11621 ln 2 zz i w 21 ln 2 zzzz iw 21 ln 2 rr На линии тока constyyxx constrr const 2 22 22 12 1 21 z 2 z

117= const а- аconst r r 2 1 , ln 2 Линии тока вихревой пары А В 2 22 22 12 1 yyxxconstyyxx

119 При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а = const. Пусть в центре цилиндра имеется сток, а на оси 0 х лежат два источника: один внутри цилиндра, другой вне цилиндра, Q – инверсия точки Р, мощность одинакова. Показать, что х РО Q R источникисток поверхность цилиндра является линией тока OP R OQ

120 При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а = const. Пусть в центре цилиндра имеется сток, а на оси 0 х лежат два источника: один внутри цилиндра, другой вне цилиндра, Q – инверсия точки Р, мощность одинакова. Показать, что х РО Q R источникисток поверхность цилиндра является линией тока OP R OQ

121 , ln)ln( r irrei reziw i i

122 хцилиндр РО Q R источникисток const RPQRPx ORQRPx ROx. RQx. RPx OP R R OQ Так как, То треугольники ORQ и ORP подобны Углы ORQ и RPO равны

123 Вихревой цилиндрический слой xrki k rez Интенсивность вихрей на элементе дуги r d dr Найти координаты центра системы

124 Интенсивность твердотельно вращающихся вихрей такова, что тангенциальные составляющие скорости в точках соприкосновения равны Найти координаты центра системы

126 U Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего постоянную скоростью U. Скорость потока равна по модулю скорости пары, но противоположна по направлению.

127 Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для 1) случая двух вихрей одинаковой интенсивности 2) пары вихрей