Презентация lektsia 5 Linii i poverkhnosti

Курс высшей математики Часть 1 УГТУ-УПИ 2004 г.

Лекция 5 Аналитическая геометрия 1. Аналитическое представление линии и поверхности в пространстве . 2. Плоскость в пространстве. 3. Прямая в пространстве.

Аналитическое представление линии и поверхности в пространстве. 1. Задачей аналитической геометрии является изучение геометрических объектов аналитическ ими метода ми , то есть средствами алгебры и математического анализа , без геометрических построений. Геометрические объекты : точка, линия, поверхность, тело.

В основе аналитической геометрии лежит метод координат , позволяющий описывать положение точки в пространстве с помощью чисел (координат точки ), что и обеспечивает возможность привлечения методов алгебры и анализа . Из всех используемых при этом систем координат наиболее часто применяется д екартова система – совокупность точки О и ортонормированного базиса , , , i j k rr r , OX, OYOZ — координатные оси.

X Y Z O M i j k Т очку М можно задать вектором Mr OM uuuurr z, y, xr. M Декартовыми координатами точки М называются декартовы координаты её радиус-вектора z, y, xr. M )z, y, x(M

Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями (или неравенствами) , связывающими координаты точек, образующих эти объекты.

Линия на плоскости . Уравнение вида Ф (x, y) = 0 называется уравнением линии L на плоскости , если ему удовлетворяют координаты x и y любой точки M( x, y ) лежащей на этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на этой линии. .

L Линия — геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению Ф ( x, y )=0. Пример. 2 2 2 0 x y r r. A O L)0, r(A L)0, 0(O

Поверхность в пространстве . Пусть — некоторая поверхность. S Уравнение вида Ф( x, y, z )=0 называется уравнением этой поверхности , если ему удовлетворяют координаты любой точки M(x, y, z) лежащей на этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки , не лежащей на этой поверхности.

Пример : 2 2 0 x y z r Поверхность — геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Ф (x, y, z)= 0. S

Линия в пространстве . Кривую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей , то есть как геометрическое место точек , принадлежащих обеим поверхностям.

Следовательно , координаты этих точек должны удовлетворять системе уравнений : 1 2 ( , , ) 0, ( , , ) 0. x y z ( Здесь Ф 1 (x, y, z)= 0 и Ф 2 (x, y, z)= 0 – уравнения пересекающихся поверхностей ).

-2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y -2 -1 0 1 2 z -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y 2 2 2 4, 1 x y z z Пример. Окружность – линия пересечения сферы и плоскости :

Параметрические уравнения линии и поверхности . При параметрическом задании линии L, её можно рассматривать как траектори ю движения точки M( x, y, z ): tzz tyy txx : L , t – параметр , играющий роль времени. Уравнения задают положение точки в каждый момент времени.

Пример : . 0 z , tsinry , tcosrx : L , 0 z , ryx : L 222 — уравнение окружности радиуса r.

Для параметрического задания поверхности S необходимы два параметра – u и v : ( , ), ( , ). x x u v S y y u v z z u v

Пример. Уравнение сферы радиуса R: sin cos , : sin , cos. x Rф S y Rф z R

Плоскость в пространстве. 2. M P n 0 M )z, y, x(M 00000, M P фиксированная точка плоскости. )z, y, x(M, M P произвольная точка плоскости. M P n. MM 0 0, 0 M M n uuuuuurr)1( — векторное уравнение плоскости. )C, B, A(n — нормальный вектор плоскости.

; zz, yy, xx. MM 0000 C, B, An 0)zz(C)yy(B)xx(A 000)2(- уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) перпендикулярно вектору . 0 DCz. By. Ax — общее уравнение плоскости. )3(000 Cz. By. Ax. D C, B, An

1 cz b y a x )4( — уравнение плоскости «в отрезках» . Здесь P 1 (a, 0, 0), P 2 (0, b, 0), P 3 (0, 0, c) – точки пересечения плоскости с координатными осями , , A D a, B D b C D c c, b, a — « отрезки» , отсекаемые плоскостью на координатных осях. x y z 1 p 2 p 3 p a b c

Пример. 4 2 4 x y z 1 1 2 4 x y z

Угол между двумя плоскостями . Рассмотрим 1 1 1: 0, P A x B y C z D 2 2 2: 0, P A x B y C z D 2 2 2 2 1 2 1 212121 21 CBACBA CCBBAA n, ncoscos 1111 C, B, An 2222 C, B, An

Условие перпендикулярности двух плоскостей. 1 2 P P 0 CCBBAA 212121 Условие параллельности двух плоскостей. 1 2 P P

Прямая в пространстве. 3. a L M 0 M )z, y, x(M 0000 — фиксированная точка прямой LM, 0 )n, m, l(a — направляющий вектор прямой L||a, )z, y, x(M — произвольная точка прямой LMa||MM 0 (1) 0 M M ta uuuuuurr

(1) — векторное уравнение прямой. 0 0, , , M M x x y y z z a l m n uuuuuur r 0 0 0 2 x x y y z z l m n — канонические уравнения прямой. 0 0 0 , 3 , x x lt y y mt z z nt — параметрические уравнения прямой. a||MM

0 Dz. Cy. Bx. A , 0 Dz. Cy. Bx. A 2222 1111 — общие уравнения прямой. Эти уравнения определяют прямую как линию пересечения двух не параллельных плоскостей . (4)

Угол между двумя прямыми 1 2 , cos a a ur uur 1 1 2 2 1 2 ( , , ) , a l m nи a l m n направляющие векторы прямых L и L то угол межу прямыми равен ur uur Если 2 2 2 2 1 2 1 212121 nmlnml nnmmll cos

Угол между прямой и плоскостью. Пусть, , . n A B Cнормальный вектор плоскости r , , . a l m nнаправляющий вектор прямой r 222222 nml. CBA Cn. Bm. Al sin L

Условие параллельности двух прямых. 21 L||L 21 aa 2 1 2 1 n n m m l l 21 a||a 21 LL 0 nnmmll 212121 Условие перпендикулярности двух прямых.

Условие параллельности прямой и плоскости. ||L Pna 0 Cn. Bm. Al Условие перпендикулярности прямой и плоскости. L Pn||a C n B m A l

Условие скрещиваемости двух прямых. Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости. Если, LM 112122 LL, LM 0 aa. MM 2121 1 L 2 L 1 a 2 a 1 M 2 M

МКТ 7 1. Записать координаты нормального вектора плоскости. 06 z 3 y 4 x 2 2. Какое произведение векторов использовано в условии ортогональности двух плоскостей .

3. Какой объект описывает система . 0 Dz. Cy. Bx. A , 0 Dz. Cy. Bx. A 2222 1111 4. Указать взаимное расположение плоскостей 2 x + y — z +5=0, x -2 y -1=0.