Презентация ДУЧП Next

t i xi+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ), ( 22 xtf x u tu )(), 0( x. Uxu )(), ()0, ( 0 t. ULtut. Utu L fuuu huu jjjj ~ )2()1( )2()(1 11 2 ), (~ , 102/1 ji xtff )( !3), ( 2), (), ( 432 1 Oxtuxtuxtu jijiji с краевыми условиями Схема с «весами» 1. Погрешность аппроксимации )( 120 ), ( 24 ), ( 6 ), ( 2 ), (), ( 6 54 32 1 h. O h xtuhxtuxtuxtu ji v ji iv jijiji При σ = 0 схема чисто явная, при σ = 1 схема чисто неявная

)( 8), ( 2), (), ( 32 22 2/1 Oxt t f xtfxtf jiji . . . ), (4), (6), (4), ( !4 1 ), (), (3), ( !3 1 ), (2), ( 21 ), (), ( 432234 3223 2211 hxtuhxtuxtu hxtuxtuxtuxtu jiiv jijijiji )( !3), ( 2), ( 3 2 Oxtuxtuxtu jijiji i j 12), (), ( 22 h xtuxtu ji iv jijiji 12), ()1( 2 h xtuxtu ji iv ji ), ( 8), ( 2), ( 332 22 h. Oxt t f xtf jijiji

), (2), (), (jijiji i j xtfxtuxtu ), ( 12), (3), (12), (4 24 3322 h. Oxtuh xtfxtuxtu jiiv jijiji ), (2), ( 2 jijiji i j xtfxtuxtu ), (), ( 12), (3), (12), (4 24 23322 h. Oxtuh xtfxtuxtu jiiv jijiji fufu td d u ), (), ( 12), (3), (12), (4 242233 22 h. Oxtuh xtfxtuxtu ji iv jijiji i j Дополнительно σ =1/2 и тогда При σ =1/2 схема называется схемой Крэнка–Николсона

2. Устойчивость f hu hu hujjj ~)1()1(2 1)1( 2 1 21221 2 max 2 1 h )1(2 0)1(21)1(2221 2 2 22 2222 h h hh hhhhтогда по принципу максимума

Условие устойчивости по правой части 10, 221 22 hh Т. о. схема условно устойчива

Трехслойная схема Ричардсона t i xi- 1 i+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 ), (2 22 11 ji jjjjj xtf h uuuuu jjj xki k m k km j eaueaueau 1)(1)(1)(1 )()(, )()( 211 2)()()( 2 1 hxkixkihxki m km k jjjj eee he 2)( : 1 jxki m k e 01)2(2 22 hkihki kk ee h 01 2 sin 8 2 22 hk hkk 1 2 sin 16 2 sin 4 4 4 22 2 2 hk hk 1)()( 21 kk. Устойчивость схемы (методом Неймана) Схема абсолютно неустойчива !!! Уравнение имеет только действительные корни (т. к. дискриминант положительный)

Схема Дюфорта и Франкела t i xi- 1 i+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 ), ( 22 2 11 2 jijjj xtfuuu u huu 1. Погрешность аппроксимации )( !3), ( 2), (), ( 432 1 Oxtuxtuxtu jijiji )( 120), ( 24), ( 6), ( 2), (), ( 654 32 1 h. Oh xtuhxtuxtuxtu jiv jijiji ), (), ( 2), ( 2 ), ( 1 11 12 11 jiji ji jijii jxtfxtu xtu h xtuxtu )( 6), ( 3 2 Oxtuxtu jiji

. . . ), ( 12), ( 6), (), (2 222 hxtuh xtuxtuxtfxtuxtu jiji iv jiji 2 2 22 , , hh. O 0 lim 0, hh ), (), (2 24 22 2 jijiji xtf h. O hxtu h xtu )( 12), (), (2 4 2 2 h. Oh xtuxtu h xtuji iv ji ji 2. Устойчивость схемы (методом Неймана) Погрешность аппроксимации зависит от соотношения шагов по времени и координате и мала, если )(11)( 2 11)()()( 2 1 hxkim k hxkim k m k jjjjjeeee h e jxki m k e 1 )(: 0 2 1 )( 2 1 222 2 hee hh hkihki kk 0 2 2 2 cos 4 22 22 hh h kh kk

Схема бегущего счета t i xi- 1 i+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 Для четных слоев Для нечетных слоев ), ( 22/1112 jijjjj jj xtfuuuu huu ), ( 2 2/111 2 jijjjjjj xtfuuuu huu ____ 2/12122121, 1), , ( 11 Njxtf h u h ujijjjj _____ 2/12122121, 1), , ( 11 Njxtf h u h ujijjjj h hh. Oi j , , , 22 22 , , hh. Oi jt i xi- 1 i+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 Для каждого слоя погрешность аппроксимации: Для двух слоев: 2 h Условие устойчивости схемы по начальным данным

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА F xtf x u t u 2 22 ), , ( )(), 0( ), (), 0( x. V t xu x. Uxu )(), ()0, ( 0 t. ULtut. Utu Lначальные условия и граничные условия Схема «крест» t i xi- 1 i+ 1 j+ 1 jj -1 Ω 0 ), (22 2 11 2 2 jijjjjjj xtf h uuuuuu 1. Погрешность аппроксимации )( !6), ( !3), ( 2), (), ( 5432 1 Oxtuxtuxtu jijiji )( 24), ( 6), ( 2), (), ( 5432 1 h. Oh xtuhxtuxtuxtu jiiv jijiji

), (), (2), ( 2 ), (2), ( 112 211 jijijii jxtfxtuxtuxtu h xtuxtuxtu )( 12), ( 4 2 Oxtuxtu jiji ), ()( 12), ( 4 2 2 jiji iv ji xtfh. Oh xtuxtu ), ( 12), (), (44 2 2 h. Oh xtuxtuxtfxtuxtu ji iv jiji ), ( 22 h. O Полученная схема явная, трехслойная. Значения для нулевого временного слоя – из начальных условий на саму функцию. Значения для первого временного слоя – аппроксимируются из начальных условий на скорость: )( 2 ), 0(), (3 2 Oxuxujjjj )( 2 ), 0()()()(3 2 2 Oxfx. Ux. Vx. Ujjjj ____2 21, 1, 2 ), 0()()()( Njxfx. Ux. Vx. Uujjjjj С учетом уравнения тогда для первого временного слоя

2. Устойчивость схемы по начальным данным (методом Неймана) 0221 11 22 2 jjjjjj uuu huuu jjj xki kkjkj xki kj eauueaueau 22 , , 02121 )1()1( 22 2 2 jjjj xki kxki kk eee he 02122 22 2 jxkihkihki kkk eee h 01 2 sin 212 2 2 22 2 kh h kk 1 2 sin 21 2 22 2 2 22 1 kh hk 1 2 sin 21 2 22 2 kh hk 1 21 kk По теореме Виета

11 k 12 k 1 2 sin 21 2 22 kh h 1 2 sin 21 2 2 22 kh h 0 2 sin 22 2 2 22 kh h 1 2 sin 2 2 22 kh h 1 2 22 h /h. Схема будет устойчива, если то есть корни будут комплексные (дискриминант отрицательный) Таким образом, схема условно устойчива при