Презентация ДИФОП-Лекция-04-Производные и дифференциалы высших порядков

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция 4Дифференциальное исчисление Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Производные высших порядков Пусть функция f ( x ) дифференцируема на отрезке [ a , b ]. Тогда её производная может быть выражена в виде некоторой функции g ( x ) : )()(xgxf Если функция g ( x ) тоже дифференцируема на отрезке [ a , b ] , то можно найти её производную g ’( x ) , которая называется второй производной функции f ( x ) на отрезке [ a , b ] : )()(xfxf

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Производные высших порядков есть третья производная функции f ( x ). Аналогично, функция f ”( x ) может оказаться дифференцируемой на отрезке [ a , b ] , тогда )()(xfxf Продолжая, получим, что если на отрезке [ a , b ] , ( п – 1) -я производная функции f ( x ) является дифференцируемой функцией, то )()( )1()( xfxf nn называется производной п –го порядка или п –й производной функции f ( x ).

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Производные высших порядков Обозначения п –й производной функции f ( x ) : Функции f ( x ) является п раз дифференцируемой в точке х 0 , если в этой точке у неё существуют все производные до п –го порядка включительно. Если при этом все п производных являются на некотором отрезке [ a , b ] непрерывными функциями, то функция f ( x ) называется п раз непрерывно дифференцируемой функцией. . )( ); ( )()( nn n xn xxx dx xfd xfxf n n Функция f ( x ) , имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой функцией.

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Дифференциалы высших порядков Пусть f ( x ) – дифференцируемая функция, а её дифференциалdxxfxdf)()( Дифференциалом второго порядка ( вторым дифференциалом ) функции f ( x ) называется дифференциал от её дифференциала, обозначаемый )( 2 dfdfd Дифференциалом 3–го порядка функции f ( x ) называется дифференциал от её дифференциала 2–го порядка, обозначаемый )( 23 fddfd Аналогично получаем, что дифференциалом п –го порядка функции f ( x ) является )( )1()( fddfd nn

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Дифференциал 2–го порядка По определению имеем: dxdxxfddfdfd))(()( 2 По правилу дифференцирования произведения имеем: xdxfdxxfdfd 222 )()()( Если х – независимая переменная, то dx не зависит от х , и, следовательно, 0)()()( )( n dxdxdx Тогда. )( 22 dxxffd

Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИРДифференциальное исчисление Если х – независимая переменная, то дифференциал 3–го порядка имеет вид: где Дифференциалы высших порядков Для дифференциала п –го порядка имеем: 33 )(dxxffd. )( )()(nnn dxxffd Если х – зависимая переменная, то дифференциал 2–го порядка следует находить по общей формуле: xdxfdxxffd 222 )()(. )(tx Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Высшая математика Автор : И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР math. mmts-it. org