Презентация 2. Сложение и вычитание векторов

АВ С Какая запись является верной? 4545 00 AA ВВ > BC ; ; AA ВВ > BC AC = BC ; AC =

Назовите коллинеарные сонаправленные векторы. Назовите коллинеарные противоположнонаправленные векторы AA BB CC DD NN MM RR EE SS FF HH JJ KK LL ZZII OO PP XX GGQQ VV TT YY UUНазовите равные векторы

Сложение векторов. Правило треугольника. aa aa bb bb a +a + bb А ВС АВ + ВС == АСАС aa + + 00 = = a a !! !! Для любого нулевого вектора справедливо равенство

В 1 Докажем, что если при сложении векторов точку А заменить другой точкой А 1 , то полученный вектор А 1 С 1 будет равен АС. Рассмотрим случай. aa bb В bb aabba +a +А С bba +a + С 1 АВВ 1 А 1 – параллелограмм ВСС 1 В 1 – параллелограмм АСС 1 А 1 – параллелограмм

== OK OKАВ + ВС ==Правило треугольника. АСАС АО + ОР == АРАР MNMN + + NRNR == MR MR MKMK + + KMKM == MM MM == 0 0 MKMK + + OMOM == OM + MK = KEАА SS + + SS С С == АСАС NMNM + + MLML == NL NL RPRP + + PRPR == RR = 0 ZKZK + + KZKZ == ZZ = 0 DEDE + + KDKD == KD + DE = =

Правило треугольника. АСАС == АВ + ВС OBOB + В NNОВNиз ON ON == ARAR + + RSRS ASRиз AS AS == XKXK + + KHKH XKHиз XH XH == MAMA + + ADADАMDиз MD MD == OFOF + + FPFP FPOиз OP OP == ONON + + NN ВВ OB OB == RSRS + + SASA RA RA == KHKH + + HXHX KX KX == AMAM + + MDMD AD AD == FPFP + + POPO FO FO ==

По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получается aa bb a +a +bb aabb a +bb

aa bb a +a +bb cc ff c +c +ff

Законы сложения векторов Для любых векторов справедливы равенства: aa , , b, b, cc 11 22 aa + + b b = = b + a переместительный закон сочетательный закон (( aa + + b b ) + c c = = a + (b + c) !! !!Теорема

aa aabb bb a +a +bb А В D CАВСиз АСАС == АВ + ВС aa== b b ++ АDСиз АСАС == АА DD + + DD СС bb== a a ++ Докажем свойство Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны. bb aa

11 22 99 66 1212 1111 1010 88 77 44 55 33При доказательстве свойства 1 0 мы обосновали правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов. Чтобы применить правило параллелограмма, надо отложить векторы от одной точки, как стрелки часов.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 11 22 99 66 1212 1111 1010 88 77 44 55 33 aa bb a+ba+b aa bb

aa aa bbbb В DC (a (a ++ b)+c Докажем свойство 22 cc cc = (= ( АВ + ВС ) + CDА = = АСАС + CD = = АА DD АА CC a a ++ (b+c) = = АВ + (( ВСВС + CD) = = АА B + BD = = АА

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А= А O O АВ + ВС + С D + DO aa cc nn mm cc mm nna+c+m+n aa

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А 1 , А 2 , …, А n – произвольные точки плоскости, то = А= А 11 AA nn. АА 11 АА 22 + А 22 АА 33 + + … + А n-1n-1 AA nn А 2 А 3 А 4А 5 А 6 А 7 А

!! Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору. aa 11 +a+a 22 +a+a 33 +a+a 44 +a+a 55 = 0= 0 aa 11 aa 22aa 33 aa 44 aa

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. aa 11 bb — bb aa aa aa 11 — bb bb. Вектор , противоположный вектору А В Вектор ВАВА , противоположный вектору АВАВ aa + + (-a) = 0 ВАВА = – АВАВaa aa 11 a = a 1 1 ; ; a a

aa bb № 766 На рисунке изображены векторы ХУХУ. . Представьте вектор ХУ ХУ в виде суммы остальных или им противоположных векторов. a, b, c, d cc dd У Х – – a – b + c + d = ХУ––

Вычитание векторов. aa aa — bb bb a a —bb bb a a –– = = a a +(–+(– bb )) — bb

Вычитание векторов. MFMF — SFSF == MF + FS == MS MS RORO — RMRM == RO + MR == MR + RO MDMD — SDSD == MD + DS == MS MS — OS — STST == SO + TS == TS + SO RORO — AOAO == RO + OA == RA RA RORO — RORO == RO + OR == RR RR == 0 0 == TO TO == MO MO

№ 768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы = АМАМ и = АА NN aa bb СС ВМВМ = = aa — NC = MN = bb AMNиз MAMA + + ANAN — == a + b BN = ABNиз BABA + + ANAN = = — aa + b+ b — aa. ВВ АА ММ NNaa bb

( )Найдите АВ + AD – DC – OD ABCD — прямоугольник АB C DАВ + AD – DC – OD = АС ++ CD CD ++ DO DO = АО О 3 4 5, 25 21 АО

АВ + ВС == АО + ОР == MNMN + + NRNR == MKMK + + KMKM == MKMK + + OMOM == АА SS + + SS С С == NMNM + + MLML == RPRP + + PRPR == ZKZK + + KZKZ == DEDE + + KDKD ==ОВNиз ON ON == ASRиз AS AS == XKHиз XH XH == АMDиз MD MD == FPOиз OP OP == ОВNиз OB OB == ASRиз RA RA == XKHиз KX KX == АMDиз AD AD == FPOиз FO FO ==