Преобразования 3 М пространства Будак Владимир Павлович, НИУ «МЭИ» кафедра светотехники : +7 (095) 763 -5239 Budak. VP@mpei. ru
Проекция Представление объектов • Создание сетки - 3 М геометрия в памяти компьютера • 3 М мир нельзя непосредственно отобразить на плоском экране - проекция на плоскость • Планарная геометрическая проекция проецирующие лучи проходят через каждую точку объекта на плоскость проекции: Параллельная проекция Центральная (перспективная) проекция Соответствие точек одной области пространства другой – отображение: r’=F(r) Начертательная и аналитическая геометрия (Monge Gaspard и Plucker Julius) – сращивание формул и построений геометрии
Отображаемое пространство Отношение высоты прямоугольной области к ширине у окна или кадра носит название отношение подобия. Если оно одинаково у окна и у кадра, то изображение в кадре без искажений. § Панорамирование (Pan) – перемещение окна по мировому пространству – кадр не изменяется, но в нем все время отображаются различные участки изображения; § Масштабирование (Zooming – наезд/отъезд камеры в кино) – изменение соотношения элементов длины окна и кадра. Выделение в Мировом пространстве отображаемого окна называется отсечением - cutting
Отображение Правило F, по которому точке r пространства P соответствует точка r’ пространства Q: F: P Q, r’=F(r) Точки плоскости P называются прообразами, а точки Q – их образами. Если каждой точке Q соответствует только одна точка P, то отображение называется взаимно однозначным - можно построить обратное преобразование: F-1: Q P, r=F-1(r’) Пусть даны два отображения F: P Q и G: Q R, отображение H: P R как результат последовательного выполнения отображений - произведение отображений. Если пространство отображается само в себя, то такое отображение называется преобразованием. Преобразования, при которых не изменяется расстояние между двумя точками области F(r 1) - F(r 2) = r 1 - r 2 , r 1, r 2 P называются ортогональными. Проецирование – отображение 3 М мира на плоскость экрана
Элементарные типы ортогональных преобразований Смещение (параллельный перенос) на вектор r { x, y, z} Поворот на угол вокруг оси OZ Отражение относительно координатной плоскости XOZ Произвольное ортогональное преобразование можно представить в виде произведения указанных элементарных
Аффинное преобразование Общий вид ортогонального преобразования - аффинное преобразование Масштабирование - растяжение или сжатие: Отрезок прямой линии переходит в отрезок прямой, параллельные линии в параллельные, а пересекающиеся в пересекающиеся
Однородные координаты Описание серии преобразований сильно упрощаются при использовании однородных координат: R={h x, h y, h z, h} - каждой точке пространства ставится в соответствие четверка чисел где x, y, z – декартовы координаты точки, а h – масштабный множитель. При h=1 однородные координаты нормализованы. В случае представления точек пространства однородными координатами все преобразования описываются произведением соответствующих матриц: R=TR’ Смещение Единый язык описания аффинных преобразований
Произведение преобразований R 1 P 1. Сместить систему координат, чтобы ось совпала с началом T; 2. Повернуть относительно оси OZ до совпадения с плоскостью YOZ – R 1; 3. Повернуть относительно оси OX до совпадения с осью OZ – R 2 ; T R 2 4. Повернуть относительно оси OZ на заданный угол – R; 5. Повернуть относительно оси OX –R 2 -1; 6. Повернуть относительно оси OZ –R 1 -1; 7. Обратно сместить систему координат, чтобы ось вращения вернулась в исходное положение – T-1; M = T-1 R 1 -1 R 2 -1 R R 2 R 1 T Матрица последовательности аффинных преобразований есть произведение матриц каждого преобразования
Проецирование на плоскость Спереди Сбоку Сверху Перспективная проекция Z C(0, 0, d) P(x, y, z) Y O X P′(x′, y′, 0) При любой проекции отрезок прямой линии проецируется в отрезок, а плоский многоугольник – в плоский многоугольник
Представление трехмерных сцен Вершины (Vertex) 1. Координаты вершин – Vertex 2. Порядок соединения – Face, Patch 3. Цвет ребер (Edge) и граней (Face) Сетка (Mesh) Ребра (Edge) Грань (Face, Patch) Сетка (Mesh) есть общий способ как для представления 3 М сцен так и для расчетов методом радиосити
Скачать презентацию Преобразования 3 М пространства Будак Владимир Павлович НИУ
08_Affine_transformation.pptx