Преобразование координат. Проецирование.
Пусть задана n-мерная система координат в базисе (k 1, k 2, …kn). Если задать другую, N-мерную систему координат в базисе (m 1, m 2, … , m. N), ТО: где fi - функции пересчёта i-й координаты
Если при всех i = 1, 2, …, N функции fi - линейные относительно аргументов (k 1, k 2, …, kn), то есть: где aij - константы, то такие преобразования называют линейными, а при n = N - аффинными. В аффинных таких преобразованиях особую роль играют несколько важных частных случаев: поворот (вокруг начальной точки), растяжение (сжатие), отражение и сдвиг (перенос).
Метод однородных координат - каждая точка в N-мерном пространстве – это проекция точки из (N+1)-мерного пространства Так, точка в трехмерном пространстве опред-ся четырьмя составляющими – (X, Y, Z, 1) В виде формулы: В матричном виде:
Метод однородных координат Все аффинные преобразования удобно трактовать в матричном виде. M – единая матрица преобразования: На практике используются нормализованные координаты (параметр S равен 1)
Аффинные преобразования на плоскости Для того, чтобы учесть координаты C и F необходимо перейти к однородным координатам, добавив строку с единицами в матрице координат:
Аффинное преобразование в пространстве В матричной форме:
Трёхмерные преобразования:
Аффинные преобразования объектов: на плоскости:
в пространстве:
Проекции пространственных образов Системы координат: декартова система координат; цилиндрические, сферические и т. п. координаты – для специального эффекта, отображения объекта; мировые координаты; объектная система координат; система координат наблюдателя; экранная система координат;
Проецирование - отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N, в точки в системе с меньшей размерностью. Видовое преобразование - преобразование координат согласно ракурсу показа пространственных объектов. Иными словами - поворот системы координат, связанной с камерой (точкой зрения на трёхмерную сцену), плюс операции отсечения по объёму видимости.
Виды проецирования: Центральное (перспективное): 1 -точечное; 2 -точечное; 3 -точечное; Параллельное (аффинное): не аксонометрическое (на любую поверхность); аксонометрическое (на плоскость): ортогональное: ортографическое; горизонтальное; вертикальное; профильное; изометрическое; диметрическое; триметрическое; косоугольное: свободное; кабинетное;
Ортографическая проекция
Проекции осей координат на плоскости аксонометрических проекций называют аксонометрическими осями. Так вводят коэффициенты искажения по осям, как отношение длин отрезков в исходной системе координатных осей и их соответствующих проекций в системе координат аксонометрических осей в плоскости проекции. При этом сумма квадратов коэффициентов искажений равна , где u, v, w – соответствующие коэффициенты искажения по осям x, y, z, а φ – угол между направлением проецирования и плоскостью проекции.
В зависимости от коэффициента искажения по осям также выделяют: Изометрия – все три коэффициента равны между собой; Диметрия – два коэффициента равны между собой и не равны третьему; Триметрия – все три коэффициента не равны между собой;
Перспективная проекция - это центральная проекция на плоскость прямыми лучами, сходящимися в точку - центр проецирования (S).
Одно-, двух-, и трехточечные проекции. Особенности перспективного проецирования: не сохраняется отношение длин и площадей; прямые линии изображаются прямыми линиями; параллельные прямые изображаются сходящимися в одной точке.
Скачать презентацию Преобразование координат Проецирование Пусть задана n-мерная система
Тема_6_2003.ppt