ПРЕДЫСТОРИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Понятие проективной геометрии n

ПРЕДЫСТОРИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Понятие проективной геометрии. n n n Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях. Сформировалась как самостоятельная наука лишь в XIX веке. К XIX веку в рамках евклидовой геометрии формируются многие теоремы и определения, носящие проективный характер.

Апполоний n Апполоний (IIIв. до н. э. ) Определяет эллипс, параболу и гиперболу как сечение кругового конуса плоскостью , проходящей под некоторым углом к образующей конуса.

Теоремы Апполония n Теоремы Аполлония о касательных к коническим сечениям носят проективный характер. Их можно переписать в виде (ABCD) = -1 «Касательная к коническому сечению и хорда, проведенная из точки касания, гармонически разделяют сопряженный с хордой диаметр»

Менелай n n Александрийским математиком Менелаем около 100 г н. э. была установлена теорема. Она носит проективный характер.

Теорема Менелая n Теорема Менелая в виде равенства двойных отношений (OB’A’Q’) и (OBAQ) двух перспективных (с центром перспективы S) прямолинейных четверок точек.

Паппа n n Паппа IIIв н. э. При исследовании свойств четырехсторонника впервые вводится двойное (или ангармоническое) отношение прямолинейной четверки точек.

Теорема Паппа O C l 1 A B B’ l 2 l D l’ l 3 C’ D’ т. е. (BDAC)=(B’D’AC’)

Теорема Папп таже показал, что две диагонали полного четырехсторонника гармонически разделяют третью диагональ. ABCD или BPDQ или APCQ – четырехсторонник , AC, BD и PQ его диагонали.

Теорема Паппа l A B C R P l’ A’ Q B’ C’ P

Эпоха Возрождения n n Кеплер (1604) вводит несобственную точку на плоскости как идеальную точку. Бесконечно удаленный фокус – «слепая» точка.

Жерар Дезарг n 1639 г. «Черновые наброски» Дезарга.

Теорема Дезарга

Блез Паскаль n В 1640 г. Паскаль опубликовал «Опыт о конических сечениях»

Теорема Паскаля

Гаспар Монж n n Конец XVIII – начало XIX в. – возрождение интереса к изучению проективных свойств фигур. Г. Монж (1795) разработал начертательную геометрию.

Л. Карно n n n «О корелляции фигур в геометрии» (1801 г) «Геометрия положения» (1803 г) «Очерки о трансверсалях» (1806 г) n n Высказал «принцип корреляции» Ввел двойное (или ангармоническое) отношение прямолинейной четверки точек с учетом знака

Ш. Брианшон