Представление знаний в ИС Лекция 3 1.7. Семантика

Представление знаний в ИС Лекция 3

1.7. Семантика исчисления высказываний 1.7.1. Оператор ВЛЕЧЕТ Семантика - есть смысловое наполнение высказывания. Интерпретировать формулу - означает приписать ей значение из семантической области {T, F}. Оператором ВЛЕЧЕТ в логике называется импликация. Следование B из A - есть семантическое наполнение операции импликации. Запись AB означает, что если A = T, то B = T, и читается "A влечет B". Если же при A = T B = F, то выражение AB - ложно. Стрелка говорит о том, что рассуждать можно только в одном направлении. Из высказывания "Если пройдет дождь, то будет урожай" не следует "Если есть урожай, то был дождь" (может быть, вместо дождя был произведен искусственный полив). Однако справедливо "Если нет урожая, то не было дождя". Данное соображение доказывается при помощи некоторых выше приведенных правил: AB = ~AB = ~(~B)~A = ~B~A Дедукция (от лат. введение) - переход в процессе познания от общего к частному. Индукция, в противоположность дедукции, есть переход от частного к общему. Процесс логического вывода представляет собой переход от посылок к заключениям на основе применяемых правил логики. Определять общезначимость и выполнимость формул позволяет ряд алгоритмов.

1.7.2. Алгоритм семантического дерева Формула, содержащая n высказываний, допускает 2n интерпретаций. Рассмотрев их все, можно точно оценить тавтологичность и выполнимость формулы. Таким образом, предлагаемый подход аналогичен анализу формулы по ее таблице истинности, т.к. подразумевает перебор всех ее значений. Понятие семантического дерева используют несколько алгоритмов. Заключается оно в следующем. Если дано конечное или счетное множество высказываний P = {P1, P2, ... Pn}, то семантическое дерево представляет собой бинарное дерево, удовлетворяющее следующим условиям: Каждая дуга помечена позитивной или негативной литерой, взятой из P. Литеры, которыми помечены две дуги, выходящие из одного узла, противоположны. Никакая ветвь не содержит более одного вхождения каждой литеры. Никакая ветвь не содержит пару противоположных литер. Общий вид семантического дерева приведен на рисунке:

Простейший метод состоит в последовательном анализе значений частичных интерпретаций в каждом узле дерева. Недостаток алгоритма очевиден: он требует больших временных затрат, поскольку необходимо рассмотреть 2n интерпретаций. 1.7.3. Алгоритм Куайна Данный алгоритм есть усовершенствование тривиального алгоритма. Выбирают одну из корневых ветвей семантического дерева (например, P1 = T) и упрощают формулу для данного значения P1. Например, формула (((P1P2)P3)(P1P2))(P1P3) при P1 = T сводится к ((P2P3)P2)P3. Далее принимают одно из значений P2, P3 и т.д. и упрощают формулу, пока не получат результат (всегда истинно, всегда ложно, неоднозначно). Т.е. исходная формула минимизируется при переходе каждый следующий уровень семантического дерева. Характер интерпретации выясняется не далее, чем на n-1 уровне дерева. Затем меняют направление выбора в последнем узле и рассматривают получившуюся формулу, перебирая таким образом все ветви. (((P1P2)P3)(P1P2))(P1P3) при P1=F: (((FP2)P3)(FP2))(FP3)= ((FP3)T)T= (TT)T=T ((P2P3)P2)P3 при Р2=Т ((TP3)T)P3= (P3T)P3= P3P3=T ((P2P3)P2)P3 при Р2=F ((FP3)F)P3= (TF)P3=FP3=T

1.7.4. Алгоритм редукции Суть этого алгоритма - в доказательстве общезначимости формул путем приведения к абсурду. Наиболее применим данный метод для анализа формул, содержащих большое количество импликаций. Допустим, имеется некоторая импликация AB, где A и B - в свою очередь, формулы. Предположим, что импликация ложна. Это возможно только при A = T, B = F. Рассмотрим верность двух данных утверждений (как было указано выше, алгоритм наиболее применим для случая, когда A и B - тоже импликации), также используя таблицу истинности импликации. Если на какой-то из итераций мы получаем противоречие найденных значений высказываний одной из ранее найденных формул, то исходное предположение не верно, а верно то, что формула общезначима. В противном случае формула необщезначима, что, вообще, не дает возможности оценить ее выполнимость. Алгоритм редукции является упрощенным частным случаем метода резолюций (см. ниже 1.9.4). Пример: (P1 P2) (~P2 ~P1) -> P1 P2 = T -> P1 != Т и P2 != F ~P2 ~P1 = F -> ~P2 = T и ~P1 = F Противоречие, значит, предположение ложности ложно, формула общезначима.

1.8. Правила вывода 1.8.1. Преобразования к нормальным формам Любая формула может быть представлена в эквивалентной КНФ. Методику преобразования рассмотрим на примере: (P(QR))((PS)R) 1. Исключение эквивалентностей и импликаций (замена конъюнкциями и дизъюнкциями). (P(QR))((PS)R) = ~(P(QR))((PS)R) = ~(~P(QR))(~(PS)R) = ~(~P(QR))(~(PS)R) = ~(~P(~QR))(~(PS)R) 2. Продвижение отрицаний в глубь формул (применение правил де Моргана). ~(~P(~QR))(~(PS)R) = P~(~QR))(~(PS)R) = PQ~R(~P~SR) 3. В ИП исключение кванторов существования. Это невозможно сделать до п.2, т.к. при перенесении отрицания кванторы могут взаимозаменяться. Кванторы существования заменяются путем операции "скулемизации", названной в честь логика Скулема. Рассмотрим два случая: Переменная x связана квантором существования (x), который не находится в области действия никакого квантора общности. Таким образом, переменная x принимает значения, удовлетворяющие следующему за квантором выражению, и набор этих значений не зависит ни от какой другой переменной. В этом случае квантор опускается, а все вхождения x, связанные с ним, заменяются на т. наз. "скулемовскую константу", например, a. Такая замена указывает на то, что выражение верно не для любого значения x, а для некоторого a. Переменная x связана квантором существования, который находится в области действия какого-то квантора общности. Это означает, что для всех значений связанной этим квантором переменной y найдутся какие-то (для каждого значения y свои) значения x, при которых выражение верно. Таким образом, переменная x, принимает значения зависящие от y. В этом случае x заменяют какой-то функцией f(y).

4. В ИП вынесение вперед всех кванторов общности. 5. Применение дистрибутивного и ассоциативного законов, свойства отрицания PQ~R(~P~SR) = (P (~P~SR))(Q (~P~SR))(~R (~P~SR)) = ~P~SRQ В результате получилась КНФ, состоящая из одного дизъюнкта. 1.8.2. Модус поненс (сокращение посылки) Методики логики применяются для вывода новых истинных высказываний из имеющихся. При этом истинность имеющихся предполагается. Одно из классических правил вывода - модус поненс. Его формулировка: Если истинно A и истинно то, что A ВЛЕЧЕТ B, то истинно B: A(AB)B Это правило кажется очевидным. В литературе приводится следующий пример: A = "Джо толст или Джо тяжел" B = "Дверь узка""Джо не сможет войти" Высказывание AB = "Джо толст или Джо тяжел"("Дверь узка""Джо не сможет войти") истинно, и, в случае, если истинно A, то истинно и B. Докажем приведенное правило при помощи изложенной методики: A(AB)B = ~(A(AB))B = ~(A(~AB))B = ~(A~AAB)B = ~A~BB = T

1.8.3. Цепное заключение Цепное правило (заключение) позволяет вывести новую импликацию из двух заданных. Если A ВЛЕЧЕТ B И B ВЛЕЧЕТ C, то A ВЛЕЧЕТ C. Приведем пример: A = "Джо толст или Джо тяжел" B = "Джо не войдет в узкую дверь" C = "Дверь узка""Джо не сможет войти" Очевидно, что AB. Также очевидно, что BC. Согласно цепному заключению: ((AB)(BC))(AC) Доказательство: ((AB)(BC))(AC) = ~((AB)(BC))(AC) = ~((~AB)(~BC))(~AC) = ~(~AB)~(~BC)(~AC) = A~BB~C~AC = A~B(~ABC)  (~AC~C) = (A~ABC)(~AB~BC) = T

1.9. Стратегии доказательств в четкой логике 1.9.1. Понятие доказательства в логике Доказательство в логике базируется на методах установления тавтологичности формул: По таблице истинности проверить, что формула всегда истинна. При помощи законов булевой алгебры привести формулу к всегда истинному выражению (типа, например, A~A). Проблема доказательства в логике состоит в нахождении доказательства истинности формулы B (заключения), если предполагается истинность формул A1, A2, ... An (посылок): A1, A2, ... An B Методы доказательств соответствуют методам установления тавтологичности: 1. Перечисляются все атомы, входящие в формулы A1, A2, ... An, B, и составляется таблица истинности. Если в строках, где все A истинны, истинно и B, то доказательство проведено. Общий вид таблицы: Недостаток данного способа - трудоемкость.

2. Записываются посылки и при помощи правил вывода выводятся другие истинные формулы. Вывод может быть многоэтапен вплоть до нахождения искомого заключения. При выводе используются понятие тавтологии и ряд конкретных полезных тавтологий. Из понятия тавтологии следует истинность ее при любых значениях входящих в нее атомов. Следовательно, подставляя вместо атома любую формулу, мы будем получать истинное выражение, т.е. снова тавтологию. Эта новая тавтология называется подстановочным частным случаем исходной формулы или результатом подстановки. Этот принцип называется правилом подстановки в ИВ и принципом отыскания частных случаев в ИП. Формулировка: Если F(V1,V2, ..., Vn) - тавтология, то F(t1, t2, . . ., tn) - тавтология, где термами ti по определению являются: константа; переменная; функция других термов. В литературе [1] приводят некоторые полезные тавтологии, употребляемые при доказательствах: A(AB)B (модус поненс) ~B(AB)~A (AB)((AC)(BC)) Выделяют ряд стратегий доказательства. Рассмотрим их ниже.

1.9.2. Доказательство введением допущения Для доказательства истинности импликации AB допускают истинность A и доказывают истинность B. Если B доказано, то импликация истинна. Этот метод базируется на двух теоремах. Теорема1.AB тогда и только тогда, когда AB Т.е. доказуемость заключения B из допущения A эквивалентна доказуемости следования B из A без дополнительных допущений. Истинность этой теоремы проверяется по таблице истинности. Теорема 2. A1, A2, ... An B тогда и только тогда, когда (A1^A2^...^An)B. Эта теорема есть расширенная формулировка первой. 1.9.3. Приведение к противоречию Доказательство введением допущения в приведенной выше формулировке называется методом прямой волны и имеет определенный недостаток: сложно запрограммировать его для ЭВМ так, чтобы вывод всегда шел по оптимальному пути. Если не ограничить глубину вывода, он может привести к массе ненужных результатов, не достигнув искомого. В ряде случаев полезнее метод поиска от цели, основанный на равнозначности (BC)(~C~B). Т.е., допустив ~C, доказывают ~B. Если ~B удается доказать, то доказанным считается BC. Комбинацией этих методов является метод приведения к противоречию. Здесь допускают, что ~(BC). Получив противоречие, делают вывод, что исходное предположение не верно, а верна его инверсия, т.е. BC.

1.9.4. Метод резолюций Метод резолюций основан на правиле, называемом принципом резолюций. Принцип резолюций включает в себя принцип отыскания частных случаев (правило подстановки) и принцип силлогизма, который формулируется следующим образом (см. теоремы из п. 1.9.2): (XA)(Y~A)(XY) (XA),(Y~A) (XY) Суть метода доказательства, основанного на принципе резолюций в следующем. Исходные данные: множество посылок H = {H1, H2, ... Hn}, заключение С. Необходимо доказать: (HC)  (H1, H2, ... HnC). Для этого произведем следующие преобразования последней формулы: H1, H2, ... HnC = ~(H1H2...Hn)C = ~((H1H2...Hn)~C) и применим метод приведения к противоречию, т.е. попытаемся доказать ложность этой импликации, иными словами, попытаемся доказать, что H1H2...Hn~C = T Основные этапы метода резолюций: 1) Составляется формула из всех посылок Hi и отрицания заключения ~C. Она приводится к КНФ. 2) Каждый дизъюнкт КНФ выписывается с новой строки. 3) Производится слияние дизъюнктов, содержащих взаимные инверсии одного и того же атома, согласно принципу резолюций. Результат слияния дизъюнктов называется резольвентой. 4)Если в результате остаются дизъюнкты типа P и ~P, очевидно, что их конъюнкция равна F, или можно сказать, что результатом их конъюнкции будет пустой дизъюнкт. Значит, наше предположение не верно, а верна доказываемая импликация.