Представление задачи принятия решений в терминах бинарных отношений

Литература по теме • Перегудов Ф. И. , Тарасенко Ф. П. Основы системного анализа – Томск: Изд-во НТЛ, 1997. – 396 с.

Содержание 1. Обоснование использования языка бинарных отношений 2. Бинарные отношения 2. 1. Основные определения 2. 2. Способы задания бинарных отношений 2. 3. Некоторые свойства бинарных отношений 2. 4. Отношения эквивалентности, порядка и доминирования 3. Задача принятия решений в терминах бинарных отношений

1. Обоснование использования языка бинарных отношений в ТПР Язык бинарных отношений используется в задачах ТПР, в которых или затруднительно или невозможно дать оценку какому-либо конкретному решению (стратегии, альтернативе), но можно сравнить это решение с другим и оценить, какое из них более предпочтительнее. Такая ситуация может возникнуть при решении многокритериальных задач например, экспертиза нескольких марок одного товара

1. Обоснование использования языка бинарных отношений в ТПР Основные допущения языка бинарных отношений : Ш Каждое отдельное решение не оценивается (не рассчитывается значение целевой функции) Ш Для каждого набора из двух решений (x, y) можно: v оценить, какое из них более предпочтительно (в том или ином смысле) v признать факт их равнозначности или несравнимости (часто эти понятия отождествляют) Ш Оценка предпочтения одного из двух решений не зависит от остальных возможных решений

2. Бинарные отношения: Основные определения Df 1: Бинарное отношение (binary relation) на некотором множестве M есть определенное подмножество пар упорядоченных элементов из данного множества Т. е. R - бинарное отношение на множестве M, если R принадлежит M х M, где M х M – множество всех упорядоченных пар (x, y) , а элементы x, y принадлежат M Если (x, y) принадлежит R, то говорят, что отношение R выполнено (или имеет место) и пишут: x R y

2. Бинарные отношения: Основные определения Df 2: Множество всех возможных пар (x, y), т. е. множество вида {(x, y), где x, y принадлежит M } называется полным (универсальным) бинарным отношением и это есть множество M х M В общем случае, как правило, далеко не все пары удовлетворяют условиям, накладываемым бинарным отношением, поэтому можно говорить, что отношение R есть подмножество полного бинарного отношения, т. е. R принадлежит M х M

Бинарные отношения: Задание 1. Сформировать ПРИМЕРЫ: Ø Множество родственников, но не все из них состоят в отношении «отец – сын» R состоит из … элементов Ø Множество родственников, но не все из них состоят в отношении «старший – младший» R состоит из … элементов

Бинарные отношения Задание 2: Имеется M - множество студентов группы Построить отношение R, сформированное из пар студентов, причем у студента, первого в паре, ранг по первой букве имени меньше, чем соответствующий ранг у студента, второго в паре

Способы задания бинарных отношений • непосредственное перечисление пар (если множество M - конечно) • матричный (если множество M конечно) • с помощью графа

Матричный способ задания бинарных отношений Матричный способ. Все элементы нумеруются. Обозначим матрицу отношения R как А (R ) = { a i , j }. Элементы матрицы отношения формируются по аналогии с элементами матрицы смежности, а именно: a i , j = { 1: x i R x j ; 0 : x i не R x j для всех i, j } ПРИМЕР : Турнирные таблицы: если и проигрыш и ничью обозначить нулем, то матрица отобразит отношение «x i – победитель x j »

Задание бинарных отношений с помощью графа Вершинам графа G (R) ставят в соответствие пронумерованные элементы множества M и, если x i R x j , то от вершины x i проводят направленную дугу к вершине x j ; если x i R x j , то дуга отсутствует

3. Задача принятия решений в терминах бинарных отношений • Пусть есть множество решений (стратегий, альтернатив, управляющих воздействий, действий) – X • И пусть имеется множество А – множество исходов принятых решений. Причем на этом множестве задано отношение предпочтения ЛПР вида » , которое для пары исходов a и b из множества А выполняется, если a лучше b с точки зрения ЛПР

3. Задача принятия решений в терминах бинарных отношений Задача принятия решения – это задача выбора Лицом Принимающим Решение решения из множества X, которое приводит к наилучшему с точки зрения предпочтения ЛПР исходу (результату) из множества А

Задача принятия решений в терминах бинарных отношений Чтобы решить задачу ТПР, необходимо тем или иным образом из отношения предпочтения на множестве исходов А, вывести отношение предпочтения на множестве решений X, а затем выбрать наиболее предпочтительное решение

Возможные варианты задачи принятия решений Вариант 1. Если имеется однозначное соответствие между выбранным решением и его результатом, описанное некоторой функцией: Ψ : X → А, то выбор решения равнозначен выбору результата. • Задача, таким образом, состоит лишь в нахождении реализуемого исхода (то есть исхода, для которого есть решение, его реализующее), предпочтительного по отношению ко всем остальным реализуемым исходам

Задача принятия решений в условиях определенности Выбранное решение будет принадлежать множеству: P ( » , X ) = { x принадлежит X | в X не существyет у, таких что f (у) » f (x) } Такая задача называется детерминированной задачей принятия решений

Задача принятия решения в условиях определенности: Задача ЦЛП «Нахождение оптимального плана покупки машин» Ø Множество альтернатив (решений) X Ø Множество исходов А Ø Отношение предпочтения на множестве исходов R состоит из … элементов

Возможные варианты задачи принятия решений Вариант 2. Если на исход предпринятого действия (решения) влияет не только само действие ЛПР, но некоторые внешние по отношению к ЛПР неопределенные факторы θ , т. е. функция Ψ сопоставляет каждому результату не только само решение, но и вектор неопределенных факторов, т. е. Ψ : X, Θ → А, где Θ – множество неопределенных факторов θ

Возможные варианты задачи принятия решений Если есть неопределенные факторы θ, то выбор ЛПР некоторого решения x* не приводит к единственно возможному результату. В зависимости от конкретной реализации не зависящих от ЛПР факторов θ может получиться любой исход (результат) из множества А (x*) = {Ψ (x*, θ ) принадлежит А , θ принадлежит Θ }

Возможные варианты задачи принятия решений • Чтобы сделать выбор, ЛПР должно сравнивать множества А (x). Но отношение предпочтения на системе множеств А (x) не задано условиями задачи. Его необходимо получать, возможно используя дополнительные субъективные предположения (принцип оптимальности!) • Такого рода задачи принятия решений называют задачами с неопределенностью

Возможные варианты задачи принятия решений ВОПРОС: Какие факторы (общего вида) влияют на неоднозначность соответствия f : X → А? Какие классы задач ТПР возникают в соответствии с этими факторами?