Представление волновых функций и операторов в матричной форме

Представление волновых функций и операторов в матричной форме

. Представим функцию в виде разложения в ряд по собственным функциям эрмитова оператора , i(х)

Рассмотрим функцию (х), которая является результатом действия оператора на (х): (х) = (х). Запишем обе функции в виде разложения по i: Формулы для определения коэффициентов bi

Зная значения коэффициентов аi, можно вычислить значение функции (х) для любых значений переменных {x}, то есть набор величин {аi} воспроизводит ту же информацию, которая содержится в исходной функции (х). Поэтому набор {аi} можно рассматривать как некоторую новую форму или представление функции (х). В данном случае говорят об L-представлении, имея в виду, что функция представлена в виде разложения по собственным функциям оператора L, которые образуют ортонормированный базис этого разложения.

Функции (х), (х) и оператор , записанные в виде функций от координат и их производных, можно рассматривать как заданные в координатном представлении или хпредставлении.

Запишем наборы коэффициентов аi и bi в виде столбцовых матриц

а матричные элементы оператора в виде квадратной матрицы

Тогда равенство или можно рассматривать как запись результата умножения матриц B=FA.

Матрица В (функция (х) в L-представлении) определяется как элементами матрицы А (функция (х) в L- представлении), так и матричными элементами оператора (матрицей F), что дает возможность рассматривать матрицу F как оператор в L-представлении. (х) = B=FA (х)

Матрица F* с элементами называется комплексно-сопряженной матрицей F. Транспонированной называется матрица, получающаяся из F путем замены строк и столбцов: Матрица F† с матричными элементами (F†)ij = (Fji)* называется матрицей, сопряженной матрице F. Если (F†)ij =Fij, то матрица F будет самосопряженной или эрмитовой. Очевидно, что такое определение эрмитовой матрицы полностью согласуется со свойствами эрмитова оператора

Оператор в своем собственном представлении Таким образом, матрица оператора в его собственном представлении диагональна.

Среднее значение (математическое ожидание) физической величины F

Скобки Дирака В литературе часто используется форма записи волновой функции и матричных элементов операторов, предложенная Дираком. Волновая функция записывается в виде «скобки» внутри которой приводятся все необходимые характеристики функции. Функция, сопряженная приведенной

означает интеграл

Линейные преобразования