Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления © Кошля Л. Н. учитель информатики

Системы счисления Система счисления –совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Системы счисления Позиционные Десятичная Двоичная Троичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Непозиционные Римская

Позиционные СС Система счисления Десятичная Двоичная Троичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Основа ние 10 2 3 8 16 Алфавит 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Позиционные СС В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра этого числа. Например, меняя позицию цифры 2 в десятичной системе счисления, можно записать разные по величине десятичные числа, например 2; 2000; 0, 02 и т. д. Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Непозиционные СС Римская СС, в которой независимо от местоположения одинаковый символ имеет неизменное значение (например, символ X в числе XXV). Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2. Пример 2. Число 444 в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40+4 Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) + (V - I) = 1000 + 900 +50+20+4.

Непозиционные СС Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Развёрнутая форма записи числа 1. Десятичное число А 10=4718, 63 в развернутой форме: А 10=4· 103+7· 102+1· 101+8· 100+6· 10 -1+3· 10 -2 2. Двоичное число А 2=1001, 1 в развернутом виде: А 2=1· 23+0· 22+0· 21+1· 20+1· 2 -1 = 8+1+0, 5 = 9, 510. 3. Восьмеричное число А 8=7764, 1 в развернутом виде: А 8=7· 83+7· 82+6· 81+4· 80+1· 8 -1 = 3584 + 448 + 4 + 0, 125 = 4084, 12510 4. Запись 3 АF 16 означает: 3 АF 16 = 3· 162+10· 161+15· 160 = 768+160+15 = 94310.

Задания для самостоятельного выполнения 1. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах: а) 6789 б) 3650 в) 16 г) 69 2. Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления. . 3. Какие числа записаны римскими цифрами: а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII? 4. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр. 5. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)? а)VII - V=XI б) IX-V=VI в) VI - IX=III г) VIII - III=X

Задания для самостоятельного выполнения 6. Запишите в развернутом виде числа: а) А 8=143511; г) А 10=143, 511; б) А 2=100111; д) А 8=0, 143511; в) А 16=143511; е) А 16=1 A 3, 5 C 1. 7. Запишите в свернутой форме следующие числа: а) А 10= 9· 101+1· 100+5· 10 -1+3· 10 -2; б) А 16=А· 161+1· 160+7· 16 -1+5· 16 -2. 8. Какое из чисел 110011 , 111 , 35 и 1 В является: а) наибольшим; б) наименьшим. 9. В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? 2 4 8 16

Дополнительные задания 1. В классе 36 учеников, из них 21 девочек и 15 мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 2. В саду 100 фруктовых деревьев, из них 33 яблони, 22 груши, 16 слив и 5 вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 3. Было 100 яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000 половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет? 4. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? q q q

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления: Получаем: 17310=2558 Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления: Получаем: 17310=AD 16.

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. Двоичная Восьмеричная Десятичная 101010 127 269 Шестнадцатери чная

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую 1. Перевести десятичную дробь 0, 562510 в двоичную систему счисления. Получаем: 0, 562510 = 0, 10012

2. Перевести число 0, 6562510 в шестнадцатеричную систему счисления. Получаем: 0, 6562510 = 0, А 816

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления. Двоичная Восьмеричная Десятичная 0, 101 0, 6 0, 125 Шестнадцатери чная

Перевод произвольных чисел 1. Перевести число 17, 2510 в двоичную систему счисления. Получаем: 17, 2510= 10001, 012

Перевод произвольных чисел 2. Перевести число 124, 2510 в восьмеричную систему. Получаем: 124, 2510= 174, 28

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления. Двоичная Восьмеричная Десятичная 111101, 1 233, 5 46, 5625 Шестнадцатери чная

Проверочная работа по теме «Перевод чисел из одной СС в другую» 1. Переведите числа в десятичную систему счисления: 341, 18 125, 216 2. Запишите десятичное число в системе счисления с основанием 2. 21, 25 34, 5 3. Выполните перевод числа по схеме: А 8 А 2 А 16. 42, 358 52, 718

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Арифметические операции в двоичной системе счисления Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел: сложения

Арифметические операции в двоичной системе счисления Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных вычитания чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных умножения чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления Рассмотрим пример деления двоичных чисел: деления

Задания для самостоятельного выполнения 1. Выполните арифметические операции: а) 11102 + 10012 г) 11102 -10012 ж) 11102 × 10012 к) 10102 : 102 б) 678 + 238 д) 678 - 238 з) 678 × 238 л) 748 : 248 в) AF 16 + 9716 е) AF 16 - 9716 и) AF 16 × 9716 м) 5 A 16 : 1 E 16 2. Вычислите выражения: а) (11111012 + AF 16) / 368; б) 1258 + 111012 × A 216 - 14178. 3. Найдите среднее арифметическое следующих чисел: а) 100101102, 11001002 и 1100102; б) 2268, 6416 и 628.

Вычисления в позиционных системах счисления с использованием калькулятора Проверить с помощью Калькулятора правильность выполнения заданий по переводу чисел из одной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в различных системах счисления.

Перевод чисел из двоичной СС в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n, нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n.

Перевод целых чисел Пример 1. Число 101100001100102 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628. Пример 2. Число 1000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200 F 8716.

Перевод дробных чисел Пример 1. Число 0, 101100012 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0, 5428. Пример 2. Число 0, 100000112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0, 80316

Перевод произвольных чисел Пример 1. Число 111100101, 01112 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745, 348. Пример 2. Число 11101001000, 110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748, D 216.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной СС в двоичную систему Пример 1. Переведем шестнадцатеричное число 4 АС 3516 в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: Получаем: 10010101100001101012.

Задания для самостоятельного выполнения 1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную СС числа: 11112; 10101012; 0, 011112; 0, 101010112; 11, 012; 110, 1012 2. Перевести в двоичную СС числа: 46, 278 EF, 1216

Домашнее задание 1. Провести сложение, вычитание, умножение и деление чисел 10102 и 102. 2. Сложить числа 58 и 48, 178 и 418. 3. Провести вычитание чисел: F 16 и A 16; 4116 и 1716. 4. Сложить числа: 178 и 1716; 418 и 4116.

Контрольная работа 1. Выполнить перевод чисел из десятичной системы в двоичную: 6410 4810 24110 30110 73610 57610 2. Осуществить сложение чисел в двоичной системе счисления: 6410 + 24110 4810 + 30110 6410 + 73610 4810 + 57610 73610 + 24110 57610 + 30110 3. Осуществить вычитание чисел в двоичной системе счисления: 24110 - 6410 57610 - 30110 73610 - 24110 73610 - 6410 57610 - 4810 30110 - 4810