Представление чисел в памяти компьютера Система счисления

Представление чисел в памяти компьютера

Система счисления, или просто счисление, или нумерация, — набор конкретных знаков-цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами. Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам: 1) разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа; 2) разные способы записи чисел цифрами; 3) разное количество цифр. Например, восточные арабы до сих пор используют ту же самую систему счисления, что и в большинстве стран, но начертание цифр у них иное. По способу записи чисел цифрами системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Системы счисления Позиционные Непозиционные

Позиционные. Ш Позиционные системы счисления - системы записи чисел, в которых значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр. Например, число 1 в обычной десятичной системе счисления означает один. В числе 11 первая цифра справа означает 1, а вторая цифра справа — уже 10, поэтому число 11 означает 1 + 10, т. е. одиннадцать. Также число 111 = 100 + 1. Примеры: двоичная(101101), десятичная(123, 15).

Непозиционные - каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа Римская система счисления является непозиционной. Например, число I в римской системе означает один, число II означает 1 + 1, т. е. два, а число III — 1 + 1 = 3. Пример: римская( XXI, IV) Основание системы счисления — это количество цифр позиционной системы счисления. Позиционные системы отличаются друг от друга своим количеством цифр, и поэтому именуется по своему основанию. Например, десятичная система счисления, двоичная система.

Обычные системы счисления Использование римских цифр Римская система счисления — счисление древних римлян, используемое в современной цивилизации В русском языке это счисление используется для написания: 1) века; 2) порядкового числительного; 3) месяца при указании даты и, очень редко: 4) года н. э. (нашей эры). Семь римских цифр Римская система счисления имеет свое собственное оригинальное начертание цифр. В частности, в этой системе отсутствует нуль. Римская система основана на употреблении семи особых знаков — римских цифр, которые делятся на четыре знака десятичных разрядов I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000 и три знака половин десятичных разрядов V = 5, L = 50, D = 500.

Десятичная Система счисления с основанием 10. Возникла примерно в V веке нашей эры в Индии. Пример-1010001 Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, состоящая из 10 разных цифр и изучаемая в школе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Здесь значение цифры зависит от ее положения в записи числа. Например, если цифра 1 стоит в числе на первом месте справа, то она значит один, если на 2 -м месте справа, то десять, на 3 -м месте справа — сто, и т. д. Так, в числе 512 пять сотен, один десяток и две единицы.

Количество однозначных, двузначных и т. д. чисел Количество цифр в числе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество чисел 10 = 10^1 100 = 10^2 1000 = 10^3 10 000 = 10^4 100 000 = 10^5 1 000 = 10^6 10 000 = 10^7 100 000 = 10^8 1 000 000 = 10^9 10 000 000 = 10^10

Код — это правило отображения одного набора объектов или знаков в другой набор знаков без потери информации. Чтобы избежать потерь информации, это отображение должно быть таким, чтобы можно было всегда однозначно возвратиться к прежнему набору объектов или знаков. Например, любую информацию можно передать русским языком с помощью 33 букв русского алфавита и добавочных знаков препинания. Кодирование — это представление, моделирование одного набора знаков другим с помощью кода. Кодовая таблица — это соответствие между набором знаков и их кодами, обычно разными числами. Табл. 2 говорит, что однозначными десятичными числами можно закодировать 10 предметов, приписав каждому предмету одно из 10 однозначных чисел. Двузначными десятичными числами — 100 предметов, и т. д. ASCII Самая распространенная и универсальная компьютерная кодовая таблица ASCII (аски-коды) (American Standard Code for Information Interchange) приведена в табл.

Двоичная система счисления 3. 1. Двоичная система счисления — это позиционная система счисления, состоящая только из двух цифр: 0 и 1. В компьютерах используется именно эта система счисления из=за своей простоты. Простота выполнения операций в двоичной системе счисления связана с двумя обстоятельствами: 1) простотой аппаратной реализации: 1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала; 2) самое сложное действие таблицы умножения — это 12 × 12 = 12, а таблицы сложения — 12 + 12 = 102. Почему в двоичной системе при сложении двух единиц счисления получается десять? Эта ситуация аналогична той, когда в десятичной системе к девяти прибавляется один: 910 + 110 = 1010. На девятке цифры десятичной системы заканчиваются, и затем следует наименьшее двузначное число десять 1010. В двоичной системе цифры заканчиваются на единице, и после нее идет наименьшее двузначное число десять 102. Двойка внизу в виде нижнего индекса означает, что числа записаны в двоичной системе. При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывается в виде нижнего индекса. Этот индекс всегда записывается только в десятичной системе счисления.

Таблицы умножения двоичных чисел Таблица сложения двоичных чисел

Первые двоичные натуральные числа от 0 до 16

Перевод чисел из одной СС в другую.

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную Установим простую, но и одностороннюю связь между одним и тем же числом, записанным одновременно в десятичной и двоичной системах. Перевести любое двоичное число в десятичное можно по формуле ‹an…a 3 a 2 a 1› 2 = ‹a 1 + a 2· 2 + a 3· 22 + … + an· 2 n-1› 10, Например: 11012 = 110 + 010· 210 + 110· 410 + 110· 810 = 110 + 410 + 810 = 1310; 11102 = 010 + 110· 210 + 110· 410 + 110· 810 = 210 + 410 + 810 = 1410. 1010102 = 210 + 810 + 3210 = 4210.

Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием 2 необходимо: 0, 2510 = 0, 012 эту дробь умножить на 2, затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на 2 и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности. Целые части, полученных произведений взятые по схеме сверху вниз, и дадут результат перевода.

Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с основанием 2 необходимо (из десятичной в двоичную систему счисления): Это число разделить на 2, полученное частное вновь делят на 2 и так до тех пор пока последнее частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего. 5310 = 1101012

Для перевода смешанной дроби из одной СС в другую необходимо: представить эту дробь в виде суммы целого числа и десятичной дроби, а затем произвести перевод каждой части отдельно по соответствующим правилам.

Рассмотрим пример: Перевести 25, 2510 в двоичную СС Сначала- переводим целую часть 2510=110012

Затем- перевод дробной части 0, 2510=0, 012

Десятичная Двоичная Восьмиричная Шестнадцатиричная 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 А 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Соединили целую и дробную части и получили: 25, 250010=11001, 012

Целые числа в памяти компьютера 0. . . 28 -1 (0. . . 255) один байт от 00000002 до 11111112 без знака 0. . . 216 -1 (0. . . 65 535) два байта Целые числа от 000000002 до 111111112 один байт со знаком -27. . . 27 -1 (-128. . . 127) два байта -215. . . 215 -1 (-32 768. . . 32 767) четыре байта -231. . . 231 -1 (-2 147 483 648. . . 2 147 483 647)

Числа без знака Число 3910 = 100111 2 в однобайтовом формате: Номера разрядов Биты числа 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 1 1 Число 3910 = 100111 2 в двубайтовом формате: Номера разрядов Биты числа 15 14 13 12 11 10 9 8 0 0 0 0 0 1 1 1 7 6 5 4 3 2 1 Число 65 53510 = 111111112 в двубайтовом формате: 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Номера разрядов Биты числа 0 0 1 1 1 1

Числа со знаком Самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа «+» 0 «-» 1

Формы записи целых чисел со знаком Прямой код Обратный код Дополнительный код

Формы записи чисел целых чисел со знаком Положительное число прямой код обратный код дополнительный код имеют одинаковое представление Число 1910=100112 Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код 0 0 0 1 1 1 1 «+»

Формы записи чисел целых чисел со знаком Отрицательное число прямой код обратный код дополнительный код имеют разное представление Прямой код числа -19: 1 0 0 1 1 Прямой код числа -127: 1 1 1 1 «-»

Формы записи чисел целых чисел со знаком Обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями. Число -19: Код модуля числа: 0 0010011 Обратный код числа: 1 1101100 Код модуля числа: 0 1111111 Обратный код числа: 1 0000000 1 1 1 0 0 0 0 «-» Число -127: «-» Дополн. код числа -19: 1 1 1 0 1 Дополн. код числа -127: 1 0 0 0 1 «-» Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Арифметические действия В большинстве компьютеров операция вычитания не выполняется. Вместо неё производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. При сложении дополнительных кодов чисел А и В имеют место четыре случая.

Арифметические действия 1) А и В положительные: Десятичная запись: + Двоичные коды: 5 Апк 0 0 0 1 7 Впк 0 0 0 1 12 Спк 0 0 1 1 0 0

Арифметические действия 2) А – положительное, В – отрицательное, |B|>|A| Десятичная запись: Двоичные коды: Апк 0 0 0 1 -12 Вдк 1 1 0 1 0 0 -7 + 5 Сдк 1 1 1 0 0 1 При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 10000110 + 1 = 10000111= -710

Арифметические действия 3) А – положительное, В – отрицательное, |B|<|A| Десятичная запись: Двоичные коды: Апк 0 0 1 1 0 0 -5 Вдк 1 1 1 0 1 1 7 + 12 Спк 0 0 0 1 1 1 Перенос отбрасывается Единицу переноса отбрасывает. из знакового разряда компьютер

Арифметические действия 4) А и В отрицательные Десятичная запись: Двоичные коды: Адк 1 1 1 0 1 1 -7 Вдк 1 1 1 0 0 1 -12 + -5 Сдк 1 1 0 1 0 0 Перенос отбрасывается При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 10001011+1= 10001100= -1210

Самостоятельная работа Вариант № 1 58(10)=х(2) 45(10)=х(16) 10(10)=х(8) 101100(2)=х(10) 1001(2)=х(10) 124(8)=х(10) 1 В(16)=х(10) 10000101(2)=х(8) 12 С(16)=х(2)=х(8) Вариант № 2 53(10)=х(2) 47(10)=х(16) 12(10)=х(8) 100110(2)=х(10) 1010(2)=х(10) 126(8)=х(10) 1 С(16)=х(10) 10000011(2)=х(8) 12 D(16)=х(2)=х(8) Вариант № 3 55(10)=х(2) 43(10)=х(16) 14(10)=х(8) 100110(2)=х(10) 1100(2)=х(10) 128(8)=х(10) 1 Е(16)=х(10) 10010001(2)=х(8) 12 A(16)=х(2)=х(8)

Проверь себя Вариант № 1 111010 2 D 12 44 9 84 27 205 100101100 454 Вариант № 2 110101 2 F 14 38 10 86 28 203 100101101 455 Вариант № 3 110111 2 B 16 42 12 87 30 221 100101010 452