Представление чисел в компьютере Системы счисления Формы представления

Представление чисел в компьютере. Системы счисления. Формы представления чисел

Равномерное алфавитное кодирование. Представление чисел в компьютере Ø Ø Компьютерный алфавит С включает буквы латинского алфавита – 52 шт. букв русского (прописные и строчные) – 66 шт. Цифры 0… 9 – 10 шт. Знаки математических операций, препинания, спецсимволы – 20 штук Итого: 128

Один байт соответствует количеству информации в одном знаке алфавита при их равновероятном распределении. Присвоение символу конкретного двоичного кода фиксируется в кодовой таблице, где устанавливается соответствие между символами и их порядковыми номерами.

Код обмена информации ASC ІІ Первоначально – 7 бит (Бит (англ. binary digit; также игра слов: англ. bit — немного) 72=128 символов 0… 31 - всевозможные управляющие символы 32… 127 – видимые на экране символы. Сейчас – 8 бит 8 2 =256 символов 128… 255 - национальные алфавиты, псевдографика

Набор символов или кодировка (character set, charset) - это определённая таблица кодирования конечного множества символов. Ø Кодировка ASCII (American Standard Code for Information Interchange - "аски", с ударением на первом слоге) - это 7 -битная (128 символов) кодировка для представления латинского алфавита, десятичных цифр, некоторых знаков препинания, арифметических операций и управляющих символов. Ø В 8 -битных национальных кодировках нижнюю половину кодовой таблицы (0 - 127) занимают символы ASCII, а верхнюю (128 255) - другие нужные символы. В Юникоде первые 128 символов тоже совпадают с соответствующими символами ASCII. Ø

Специальные символы

Кодировка Windows-1251 (cp 1251) является стандартной 8 -битной кодировкой для всех русских версий Microsoft Windows. Первая часть таблицы кодировки (латиница) полностью соответствует кодировке ASCII. Вторая часть (под символами указаны шестнадцатеричные коды Unicode):

Система счисления совокупность приемов наименования и записи чисел. Позиционная Непозиционная

Непозиционная система счисления В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимаетчисле). Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество

Запись чисел в непозиционной системе счисления осуществляется по следующим правилам: если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 — 1=4, ХЬ: 10 < 50, следовательно, 50 — 10 =40); Ø если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VI: 5+1=6, VIII: 5+1+1+1=8, XX: 10+10 = 20). Ø

Позиционная система счисления Наиболее распространенная система счисления. Все обрабатываемые данные в персональных компьютерах представлены в виде кодов и чисел в позиционной системе счисления. Конкретное значение числа в позиционной системе определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т. е. цифры имеют разный вес в записи числа.

Число в позиционной системе счисления Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R (некоторые базовые символы (цифры), и все остальные числа получаются в результате строго определенных операций над ними) имеет вид: X = an*Rn + an-1 *Rn-1 +. . . + a 1 *R 1 + a 0 *R 0, где R-основание , а цифры ai принадлежат 0, . . . , R-1

Двоичная система счисления Внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, то есть описываемым наборами только из двух знаков – 0 и 1. Цифра двоичной системы счисления хранится в элементарной ячейке памяти, называемой битом. Бит – это наименьшая единица измерения количества информации (да - нет). Восемь бит составляют байт и дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все выключены" (0000) до "все включены" (1111). По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево, как это показано в таблице: Номера битов: 7 6 5 4 3 2 1 0 Значения битов: 0 1 0 0 0 1

Число в двоичной системе счисления X = an*2 n + an-1 *2 n-1 +. . . + a 1 *21 + a 0*20 ai принадлежат (0, 1) Например: 10100001=128+0+32+0+0+1=161 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 1*27 0*26 1*25 0*24 0*23 0*21 1*20 1*128 0*64 1*32 0*16 0*8 0*4 0*2 1*1

Таблица сложения умножения в двоичной системе счисления 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 0 х0=0 0 х1=0 1 х0=0 1 х1=1

Восьмеричная система счисления Таблица сложения + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

Таблица умножения для восьмеричной системы счисления Х 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 1 2 0 0 1 2 2 4 3 6 4 10 5 12 6 14 7 16 3 4 0 0 3 4 6 10 11 14 14 20 17 24 22 30 25 34 5 6 0 0 5 6 12 14 17 22 24 30 31 36 36 44 43 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

Двоичное, восьмеричное, десятичное и шестнадцатеричное представления Десятичная Двоичная Восьмеричная шестнадцатеричная 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Правило 1. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении остатков от деления числа x на основание Q, при этом процесс продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием P, т. е. основание Q должно такжебыть выражено в системе счисления с основанием P. Остатки от деления должны быть выражены цифрами системы счисления с основанием R. Представление искомого числа в системе счисления с основанием R получается выписыванием последнего частного и остатков от деления в обратном порядке. 57410=? 8=10768 574 8 56 14 8 6 71 64 7 8 8 8 0 8 1

Правило 2. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа х по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную. 23 Е 16 =? 10: = 2*162+3*161+ Е*160==57410 10788=1*83+0*82+7*81+6*80=57410

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по Триадам. При переводе из восьмеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется триадой. При переводе из двоичной системы в восьмеричную число развивается на триады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую триаду заменяют восьмеричной цифрой согласно таблице перевода. 1076 8= 001 000 111 1012

Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по тетрадам. При переводе из шестнадцатеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется тетрадой, согласно с таблицей перевода. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивается на тетрады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую тетраду заменяют шестнадцатеричной цифрой согласно с таблицей перевода. 23 E 16= 0010 0011 11012

Формы представления чисел С фиксированной точкой (естественная форма) С плавающей точкой (нормализованный вид)

Естественная форма С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением точки (запятой), отделяющей целую часть от дробной. 0, 25; -10, 44; +0, 9781. Эта форма проста, естественна, но при больших или маленьких значениях чисел громоздка и неудобна и поэтому не всегда применяема при вычислениях. Пример: Диапазон чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов в целой части и S разрядов в дробной (без учета знака числа) будет: P-S ≤ N ≤ Рm - Р-S При р=2, m=10 и S=6 0, 015 ≤ N ≤ 1024. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки и дальнейшее вычисления теряют смысл.

С плавающей точкой Главное достоинство: автоматическое масштабирование числа на каждом этапе обработки. Это универсальная форма записи всех чисел, кроме целых (Int, Word, Byte). Определение для 10 -ой системы счисления. Число Х 10 называется нормализованным, если оно представлено в виде Х 10 =±М 10*10±К , М 10 – мантисса, 0, 1≤ М 10< 1, К-порядок, целое положительно десятичное число. Пример: -123410=-0, 1234*104, 0, 003=0, 3*10 -2 При нормализации происходит разделение числа на 4 составляющих: знак числа, мантисса, знак порядка, порядок. Для произвольной системы счисления. Хр =± Мр* р±К , Р-1 ≤ М< 1 ( первая цифра мантиссы после запятой - ≠ 0) Например: для р=2, Х= -101, 012 = -0, 10101*211(2) , 0, 12 ≤М 2 < 1