Предположим что производится n независимых испытаний в результате

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1 -м и 4 -м случаях и не осуществилось во 2 -м и 3 -м случаях. Формула называется формулой Бернулли *.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий? (Решение) Часто необходимо знать, при каком значении m вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число наступления события A в данной серии опытов. Можно доказать, что число должно удовлетворять двойному неравенству (14) Заметим, что сегмент [np-q; np+p], в котором лежит , имеет длину (np+p)-(np-q)=p+q=1. Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: np-q и np+p. Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1. ( Решение) При больших значениях n подсчет вероятностей Pn(m) по формуле (13) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой: (15) , где (p не равно нулю и единице), a Формула (15) выражает так называемую локальную теорему Лапласа **. Точность этой формулы повышается с возрастанием n. Функция , как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей. Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I). - See more at: http: //www. toehelp. ru/theory/ter_ver/2/#sthash. 2 k. Lv. Lrud.