Предмет теории вероятностей. События и их классификация. Лекция № 1
Мир, построенный на вероятности Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе. A. Дюма «Математика случая» — так еще в XVII веке назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль.
ТВ как предмет n Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. n Случайный эксперимент - эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. n Не все случайные явления можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях.
ТВ как наука n Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. n Методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ - событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта). Обозначают заглавными буквами А, В, С, Д, … (латинского алфавита).
Опыт : Подбрасывание монеты. Испытание – подбрасывание монеты; случайные события – монета упала «орлом» или «решкой» . «решка» - лицевая сторона монеты (аверс) «орел» - обратная сторона монеты (реверс)
Пример Монету бросают дважды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз
Пример Подбрасывание монеты. Сл. событие – выпадение решки или орла. n Бросание игральной кости n Сл. событие- выпадение очков на грани. n n Набор элементарных событий - набор всех возможных отдельных результатов испытаний, а каждый элемент, т. е. каждый отдельный возможный результат испытания называется элементарным событием.
n Компания Н занимает целый этаж. В конце коридора расположена комната отдыха, в ней аппарат для приготовления кофе. В среднем работник фирмы выпивает в день n чашек кофе n Спрашивается: a. Какова вероятность, что когда сотрудник идет с кофе к себе в комнату, он получит удар по лбу открывающейся дверью? б. Какова вероятность, что при резком открытии двери сотрудник даст по лбу коллеге, несущему кофе? г. И что же теперь, кофе не пить? n Вывод Даже если до сих пор Вы не любили кофе, Вы полюбите его с нашими кофейными аппаратами
История n n в 1657 году, было опубликовано сочинение выдающегося голландского ученого Христиана Гюйгенса "О расчетах при игре в кости « -одно из первых исследований в области теории вероятностей.
Основатели теории вероятностей Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс Б. Паскаль П. Ферма Х. Гюйгенс
Основатели теории вероятностей Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова. С. Н. Бернштейн А. Н. Колмогоров
Карты - азартная игра ! Почему? n n Потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Игра в кости –тоже азартная. Ø с нее математики начали изучать его величество Случай. n Игральная кость - маленький кубик, грани которого помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 или точками
Пример n n Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
Парадокс игры в кости n Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. n В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. n Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами: n 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. n Почему 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три?
Решение n n n В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: 9 =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней.
Почему 10 появляется чаще, когда бросают три кости В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: n 9 можно "выбросить" 25 способами , n а 10 - уже 26 способами. n Потому 10 получается чаще, чем 9. n (Проверьте!!!) n
Генератор случайных чисел - устройство для получения наборов случайных чисел. n Различают три типа генераторов: n урны, n кости, n рулетки. Ø Замечание ящик с шарами представляет n собой одну из разновидностей урн
Математическая вероятность – числовая характеристика степени возможности появления определенного события в условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз. n
Классическое определение вероятности Вероятность события -отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов ü Благоприятными исходы – исходы , при которых получается результат
Типы событий СОБЫТИЕ ДОСТОВЕРНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ СЛУЧАЙНОЕ
Типы событий ДОСТОВЕРНОЕ Событие называется достоверн ым, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. СЛУЧАЙНОЕ Случайным называют событие которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. НЕВОЗМОЖНОЕ Событие называется невозможн ым, если оно не может произойти в результате данного испытания.
Классификация событий n Достоверное событие – событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти. Пример n Выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости n отказ радиоэлемента при работе n появление непрерывно действующей помехи в некотором заданном интервале времени.
n Невозможное событие – событие, которое не может иметь место в данном опыте Пример n Выпадение более 6 очков при бросании игральной кости n появление напряжения, значения больше порога ограничения, на выходе ограничителя. n В партии все изделия стандартны, извлечение брак. изделия – событие невозможное
Примеры событий достоверные 1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА. 2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО. 3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ. случайные 1. НАЙТИ КЛАД. 2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ. 3. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ. 5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА. невозможные 1. З 0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ. 2. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Определение Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Пример q. Выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты q Извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт. üЗамечание Равновозможными события – события, исходы которых имеют одинаковые шансы
n n n Теорема 1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы Теорема 2. Вероятность достоверного события равна единице Теорема 3. Вероятность невозможного события равна нулю
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ КЛАССИЧЕСКОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
Классическое определение (по Лапласу) n Вероятность случайного события A - отношение элементарных событий, благоприятствующих появлению события A к числу всех элементов в наборе элементарных событий. P – обозначение происходит от первой буквы франц слова probabilite – вероятность
Замечание к классическому определению q Вероятность события – численная мера, принимающая значения между 0 и 1 и характеризующая степень возможности появления события в данном опыте. q Чем ближе вероятность события к 1, тем больше объективная возможность появления его в опыте. q эти определением предполагается, что все элементарные события равновероятны (не всегда можно определить равновероятность наступления отдельных элементарных событий). q определение применимо лишь в тех случаях, когда число элементарных событий конечно, но на практике не всегда имеет место
Пример 1. Петя забыл последнюю цифру номера телефона знакомой и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что он поговорит с ней по телефону? Решение 2. Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости
Пример Буквы образующие слова «Теория вероятностей» перемешаны и наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная n Решение n Общее число исходов n=18 (число букв в словах). n Число благоприятствующих исходов m=9 n Р(А) =m/n=9/18=1/2
Из карточек составили слово «статистика» . Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?
Всего 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5; буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10; буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5; буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5; буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10. статистика
Пример Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места Решение 1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). 2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). 3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 Всего получаем P=1/10+1/10=3/10=0, 3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Ответ: 0, 3
Ошибка Даламбера. Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность Жан Лерон Даламбер исходов в опыте всего с (1717 -1783) двумя монетами!
Ошибка Даламбера. Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла» ; 2) обе монеты упадут на «решку» ; 3) одна из монет упадет на «орла» , другая на «решку» . Из них благоприятными будут два исхода. Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла» ; 2) обе монеты упадут на «решку» ; 3) первая монета упадет на «орла» , вторая на «решку» ; 4) первая монета упадет на «решку» , вторая на «орла» . Из них благоприятными будут два исхода.
Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в. ) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Жорж Бюффон Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:
Английский математик Карл Пирсон (1857 -1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: Карл Пирсон
Пример Выпадение герба. При небольшом количестве опытов относительное число появлений герба будет отличаться от 0. 5, но если увеличить число до несколько десятков тысяч, то небольшие отклонения не могут оказать влияния на общий результат. n Такие опыты проводились Бюффоном ( Франция), и Пирсоном ( Англия)
Пример n n Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение. n Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из урны каждого из имеющихся в ней шаров. n Число возможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6 (таково количество белых шаров в урне).
Геометрическое определение вероятности n Геометрическая вероятность -вероятность n Геометрическая вероятность - отношение случайного события - отношение площади области, благоприятствующей появлению события, к площади всей области. меры, благоприятствующей появлению события к мере всей области
Пример В некоторой А L ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?
Пример В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата 16 см 2 – 4 см 2 = 12 см 2. Значит,
n n n Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры. На фигуру наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Фигуру g называют благоприятствующей событию.
Геометрическая вероятность n Имеется отрезок ОА. Разделим его пополам в точке В и найдем вероятность того, что точка отрезка ОА, выбранная в случайном порядке находится на ОВ. на практике может быть меры длины, площади, объемы. Ø
Пример ( задача о встрече) Два лица A и B условились встретиться в определенном месте между 11 и 12 ч. и ждать друга 30 мин. Если партнер к этому времени не пришел или уже ушел встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится. n Решение n Обозначим моменты прихода в определенное место лиц A и B - соответственно через x и y. n За начало отсчета возьмем 11 ч. , а за единицу измерения 1 ч. n По условию n Это квадрат со стороной 1. n
n Событие C - встреча двух лиц произойдет , если разность между x и y не превзойдет 0. 5 ч, т. е. ( площадь области равна площади квадрата без суммы площадей двух угловых треугольников. )
Частота случайного события. Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов называется число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.
Частота случайного события. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов: где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NA случаях.
Статистическое определение вероятности n Вероятность события - число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов. Замечание Если же события не являются равновозможными, то применить классическую формулу вероятности нельзя. В этом случае используется статистическое определение вероятности. статистическое определение является опытной, экспериментальной характеристикой.
Замечания n n n Замечание 1. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. Замечание 2. свойства вероятности, доказанные для классического определения, справедливы и для статистического определения вероятности. Замечание 3. Для существования статистической вероятности события А требуется: 1) возможность производить неограниченное число испытаний ; 2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа опытов. Замечание 4. Недостатком статистического определения является неоднозначность
Пример Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Ответ: 0, 515
Пример Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0, 012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов? Решение: Ответ: в 120 случаях.
Пример За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? Ответ: 0, 728; 0, 272.
КОМБИНАТОРИКА n – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА – задача, требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.
Задача 1 У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи? Решение
Правила комбинаторики Правило суммы Правило произведения
Правило суммы n Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то или одну или другую вещь можно выбрать (m + k) способами.
Пример имеется 8 шаров: в 1 ящик положили 5 шт. , а 2 ящик - 3 шт. n Сколькими способами можно вытащить 1 шар? n Решение: из 1 ящика шар можно вытащить 5 -ю способами, а из второго 3 -мя. Значит, всего 5+3=8 способов. n
Правило произведения n Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то одну и другую можно выбрать (mхk) способами.
Пример В 1 ящике 5 зелёных, а 2 - 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить 1 зелёный и 1 красный шар? n Решение: зелёный можно выбрать 5 -ю способами, а красный – 3 -мя. Значит, 1 зелёный и 1 красный можно выбрать 3 х5 = 15 способами. n
Виды комбинаций (выборок) Если из данного множества предметов мы будем выбирать некоторое подмножество, то его будем называть выборкой.
Формулы комбинаторики n Размещением из n по m - называются соединения, различающиеся самими элементами или их порядком. Замечание n!- эн факториал - это произведение n последовательных натуральных чисел: n! = 1. 2. 3. 4…. n
Пример n n n Расписание состоят из 4 пар. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 предметов. Решение Каждый вариант расписания представляет набор 4 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования. Т. е. размещение из 11 по 4.
Пример На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: 1 а) число 123; б) число 312 или 321; в) число, первая цифра которого 2? 2 Решение. Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). 3 Общее число исходов: 4
Продолжение примера Решение. 1 Рассмотрим события и их вероятности: а) Событие А={из трех карточек образовано число 123}, 4 2 3
Продолжение задачи Решение. б) Событие В={ из трех карточек образовано число 312 и 321}, 1 2 4 3
Продолжение задачи Решение. в)Событие С={из трех карточек образовано 1 число, первая цифра которого 2}. Если первая цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть 4 2 3
n Перестановками из n элементов - называются соединения, различающиеся только порядком входящих в них элементов.
Пример Порядок выступления определяется жеребьевкой. 7 участников. Сколько вариантов возможно. n Решение n Каждый вариант жеребьевки отличается порядком участников конкурса, т. е. перестановка из 7 элементов n
Пример На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что О получится слово «КРОТ» ? Решение. Т Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов: Р Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ» }: К
n Сочетаниями из n элементов по m - называются соединения, различающиеся только своими элементами
Пример В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар? Решение. Исходы – все возможные пары шаров. Общее число исходов 1) Событие А={вынуты два черных шара}; 2) Событие В={вынуты белый и черный шары};
Пример Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что: 1) обе они согласные; 2) среди них есть «ъ» ; 3) среди них нет «ъ» ; 4) . одна буква гласная, а другая согласная Решение. 1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. В русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы ( «ь» , «ъ» ) не обозначающие звуков.
Продолжение Решение. 2) В={среди выбранных букв есть «ъ» }.
Продолжение Решение. 3) С={среди выбранных букв нет «ъ» }.
Продолжение Решение. 4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.
Пример n n n В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов? Решение
Пример n n Из урны, в которой К белых и N-K чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, n<=N. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n-k чёрных шаров. Решение
Основные элементы комбинаторики 1. Размещение Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n. (Порядок важен). 2. Перестановки Если m = n, то эти размещения называются перестановками. 3. Сочетания Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов. (Порядок не важен). Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т. е.
Свойства сочетаний
Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями n n n В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение. В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга. В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
Скачать презентацию Предмет теории вероятностей События и их классификация Лекция
Лекция1_вероятность.ppt