Предложения эквивалентные пятому постулату Евклида Выполнил студент факультета

Предложения эквивалентные пятому постулату Евклида. Выполнил студент факультета информатики, математики и физики 34 группы Русанов Андрей Григорьевич.

l Евклид, средневековый рисунок ок. XV века.

Историческая справка l В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу. l За рубежом её часто называют аксиомой Плейфера: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» .

Историческая справка l В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной» , так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида. l Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными.

Перечень эквивалентов l Существуют подобные, но не равные треугольники. (аксиома Валлиса, 1693 г. ) l Через любую точку, взятую вне прямой плоскости определяемой этой точкой и прямой, проходит прямая параллельная данной и причем только одна. l Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Перечень эквивалентов l Расстояние между двумя параллельными прямыми – есть величина постоянная. l Любую фигуру можно пропорционально увеличить. l Существует треугольник сколь угодно большой площади. l Прямая, проходящая через точку внутри острого угла, пересекает, по крайней мере, одну его сторону (аксиома Лоренца, 1791 г. )

Перечень эквивалентов l Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. l Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются. l Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. l Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

Перечень эквивалентов l Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую. l Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756 г. ) l Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. l Сумма углов одинакова у всех треугольников.

Перечень эквивалентов l Две прямые, параллельные третьей, параллельны и другу (аксиома Остроградского, 1855 г. ) l Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность. l Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга.

Перечень эквивалентов l Средняя линия треугольника равна половине его основания. l Внешние углы треугольника равны сумме углов не смежных с ним. l Высоты треугольника всегда пересекаются.

Эквивалентность l Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему. l Если вместо V постулата допустить, что для пары точка—прямая, V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. l Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Эквивалентность l Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных. Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую формулировку? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. l В. П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой. l М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой.

Эквивалентность l Античные математики избегали использовать актуальную бесконечность, например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать» . С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны.

Литература l l l Начала Евклида. / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай - Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М. -Л. : ГТТИ, 1948. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М. : ГИФМЛ, 1960. — 468 с. Гильберт Д. Основания геометрии. — Л. : Сеятель, 1923. — 152 с. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. — М. : Наука, 1972. Каган В. Ф. Геометрия Лобачевского и её предыстория. — М. —Л. : 1949.

Вопросы 1. Какие еще Вам известны эквиваленты пятого постулата Евклида? 2. Какова была точка зрения античных математиков, на вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных? 3. Назовите хотя бы одну причину, почему же Евклид выбрал сложную и громоздкую формулировку пятого постулата?