ПРЕДИКАТЫ В алгебре логики все высказывания рассматриваются

ПРЕДИКАТЫ

В алгебре логики все высказывания рассматриваются как истина или лож. Ни структура высказываний, ни их содержание не затрагиваются. В науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания, следовательно, алгебра логики оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений. В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, такой логической системой является логика предикатов

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально сказуемое, хотя оно может играть и роль определения). Субъект это то, о чем что то утверждается в высказывании; предикат это то, что утверждается о субъекте.

Предика т (n местный, или n арный) это функция с множеством значений {0, 1} (или «ложь» и «истина» ), определённая на множестве M = M 1 × M 2 ×…× Mn. Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный» , либо как «ложный» .

Предикат называют тождественноистинным если на любом наборе аргументов он принимает значение 1 и пишут: P(x 1, …, xn) ≡ 1

Предикат называют тождественноложным если на любом наборе аргументов он принимает значение 0 и пишут: P(x 1, …, xn) ≡ 0

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Одноместный предикат Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1, 0}. Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката. Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение «истина» , называется множеством истинности предиката Р(х).

Тождественно истинный предикат Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если 1 р = М (1 р = ). Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Двухместный предикат Двухместным предикатом Р(х, у) называется функция двух переменных х и у (субъекты предиката), определенная на множестве М =М 1 М 2 (х М 1 , у М 2 ) и принимающая значения из множества {1, 0}.

n – местный предикат n – местным предикатом называется функция Q(x 1, x 2, …, xn), определенная на множестве М = М 1 М 2 … Мn и принимающая на этом множестве значение из множества {1, 0}.

Логические операции над предикатами Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказыва ний к предикатам на примерах одноместных предикатов. На некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(x), рассмотрим некоторые возможные логические операции:

Конъюнкция Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) Q{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех зна чениях х М, при которых каждый из предикатов при нимает значение «истина» , и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Р(х) Q{x)

Дизъюнкция Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе ниях х М, при которых каждый из предикатов при нимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Р(х)V Q(x)

Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат Р(х) Q(x), который принимает значение «истина» при всех значениях х М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь» , и принимает значение «ложь» при тех значениях х М, при кото рых предикат Р(х) принимает значение «истина» .

Р(х) Q(x),

Импликация Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x) Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина» , a Q(x) значение «ложь» и принимает значе ние «истина» во всех остальных случаях.

Р(x) Q(x)