предикатов Логика Структура высказывания и их содержание

предикатов Логика

Структура высказывания и их содержание не затрагивает некие глубинные процессы, которые можно сформулировать, то есть структуру и содержание. Например, в рассуждении «Всякий ромб – параллелограмм, если а, в, с, д – ромб, то АВСД – параллелограмм» . Здесь посылки и заключения являются элементами высказывания и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые неделимые без учета их внутренней структуры. Возникает необходимость построения такой логической системы, средствами которой можно было исследовать и структуры тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, которая содержит логику высказываний в качестве своей части. Логика предикатов расчленяет элементы высказывания на субъект (подлежащее, хотя оно может играть роль дополнения) и предикат (сказуемое, хотя оно может играть роль определения). В алгебре логике высказывание – это нераздельное целое только с точки зрения их истинности и ложности.

• Субъект – это то, о чем что то утверждается в высказывании. • Предикат – это то, что утверждается о субъекте. • 7 – субъект, а простое число – предикат. Если заменить « 7» переменной х из множества N, то получим следующую высказывательную форму: « х – простое число» . При одних значениях эта формула истинна, при других ложна. Ясно, что имеем функцию одной переменной х, определенной на множестве натуральных чисел N и принимающее значение {0; 1}. • Одноместным предикатом р(х) называется произвольная функция переменной х, определенной на множестве М и принимающее значение из {0; 1}. • Множество М, на котором определен предикат р(х) называется областью определения предиката. • Множество всех элементов х (х М), при которых предикат принимает значение истинно называется множеством истинности предиката р(х). • Ip={х: х М, р(х)=1}. • Так предикат р(х), где х простое число, является определенным на множестве М. • Множество I(p) – множество всех простых чисел.

• Предикат р(х) определенный на множестве М называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I(p)=M, I(p)= • Двуместным предикатом р(х; у) называется функция двух переменных х, у, определенная на множестве М 1 и М 2, принимающая значение из множества {0; 1}. • Логические операции над предикатами. • К предикатам применяются все операции логики высказывания. • Конъюнкцией предикатов р(х), Q(x), называется предикат р(х) Q(х), который принимает значение истинны при тех и только тех значениях х М, когда каждый из предикатов принимает значение истинны, а во всех остальных случаях ложно. • Областью истинности конъюнкции предиката является Ip IQ.

• • • Дизъюнкция предиката р(х), Q(х) - это новый предикат р(х) Q(x), который принимает ложное значение, при тех и только тех значениях х М, при которых каждый из предикатов принимает ложное значение и принимает истинное значение во всех остальных случаях. Областью истинности дизъюнкции предиката является Ip IQ. ___ Отрицание предиката р(х) - это новый предикат р(х), который принимает истинное значение, при всех х М, при которых предикат р(х) принимает ложное значение и наоборот. Импликацией предикатов р(х), Q(х) называется новый предикат р(х)→q(x), который является ложным при х М, при которых р(х)=1, q(х)=0 и значение истинны во всех остальных случаях. __ ___ Р(х) v q(x) = p(x)→q(x) Кванторные операции. Пусть имеется предикат р(х), определенный на множестве М, если а является некоторым элементом из множества М, то подстановка его вместо х в предикат р(х), превращает предикат в высказывательную формулу ___ p(x)→Q(x) = p(x) v q(x) такое высказывание называется единичным.

• Наряду с образованием из предикатов единичное высказывание в логике предикатов рассматривает две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. • • Квантор всеобщности. • Пусть р(х) - это некий предикат, определенный на множестве М, тогда под выражением х р(х) понимают высказывание истинное для любого элемента из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х и читается «для всякого х, р(х) – истинно. » • - квантор всеобщности. • Переменная х в предикате р(х) называется свободной ( ей можно присвоить различное значение из М), а в высказывании хр(х) переменная х называется связанной квантором всеобщности. • • Квантор существования. • Пусть р(х) предикат, определенный на множестве М, тогда под выражением хр(х) понимается высказывание, которое является истинным если существует элемент х из множества М, для которого р(х) истинно и ложно в противном случае. Это высказывание также не зависит от х и читается: «существует х, при котором р(х) истинно» ; в этом случае переменная х считается связанной квантором существования.