ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Введем понятие предела функции в точке и на бесконечности.
Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента к числу х0, т. е. х→х0.
Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x 1, x 2, …xn, …}={xn}, общий член которой xn неограниченно близко приближается к числу х0, т. е. стремится xn→х0.
При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x 1), f(x 2), …f(xn), …} = {f(xn)}.
у А 0 х0 х
Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, стремящейся к х0, т. е. xn→х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} стремится к числу А, т. е. f(xn)→A
Предел в точке обозначается:
Существуют также односторонние пределы в точке - пределы слева и справа, когда значения аргумента приближаются к точке х=х0 со стороны больших или меньших значений:
Теорема. Для того чтобы функция у = f(х) имела предел в точке х=х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой правый и левый пределы, которые и определяют предел функции в точке:
Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до бесконечности. Дадим определение.
Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х→∞, если для любой последовательности значений аргумента, стремящейся к бесконечности, т. е. xn→∞, соответствующая последовательность значений функции стремится к числу А, т. е. f(xn)→A.
Предел на бесконечности обозначается:
Отметим, что функция может иметь пределы как на +∞, так и на -∞:
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
где u=u(x)→ 0 при x→ 0
Следствия из первого замечательного предела:
Второй замечательный предел:
где е 2. 73…-натуральное число, а logex = lnx называется натуральным логарифмом.
Следствия из второго замечательного предела:
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Функция называется бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если её пределы равны нулю:
Функция называется бесконечно большой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если её пределы равны бесконечности:
Следует отметить, что одна и та же функция может быть одновременно бесконечно малой или бесконечно большой в разных точках. На рисунке функция является бесконечно малой в точке х=1 и при , а в точке х=0 эта функция является бесконечно большой.
у 0 1 х
Теорема о связи бесконечно малых или бесконечно больших функций: Если функция является бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х , то функция
- является бесконечно большой и наоборот, если бесконечно большая функция, то бесконечно малая функция.
Пример. Функция является бесконечно малой в точке х=2, т. к
а функция является бесконечно является большой в точке х=2, т. к.
Две бесконечно малые функции в точке х=х0 или на бесконечности при х называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице, т. е.
При нахождении пределов бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
1)sinu~ u; tgu~ u; arcsinu~ u; arctgu~u, 2) еu-1~u; 3) au-1~u lna; 4) ln(1+u) ~u; 5) (u+1) ~ u; 6) (1 -cosu)~ , где u=u(x)→ 0 –бесконечно малая функция;
Теорема об арифметических операциях над пределами: Если функции f(x) и φ(х) имеют конечные пределы в точке х=х0 или на бесконечности при х , то
при условии
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
При вычислении пределов необходимо выделить случаи, когда функция определена или неопределенна в предельной точке.
Если функция определена в предельной точке х=х0, то вычисление предела сводится к вычислению частного значения функции в этой точке путем подстановки в неё значения аргумента, т. е.
Пример.
Если функция неопределенна в предельной точке х=х0, то для характерных неопределенностей типа:
имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей.
Неопределенность типа:
Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и его следствия, а также можно провести замену эквивалентных бесконечно малых функций.
Пример. sin 2 x=(sinx)2~x 2; arctg 3 x~3 x; (e 6 x-1) ~6 x =
Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить и сократить сомножитель, стремящийся к 0.
Пример.
Неопределенность типа
раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены бесконечно большой переменной х→ на новую бесконечно малую переменную
Пример.
Неопределенности типа:
путем преобразования приводятся к неопределенностям вида:
Примеры.
Неопределенность типа:
раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Пример.
