Пределы 2 Производная 9 Неопределенный интегрировал 28

Пределы…………………. 2 Производная ………………. 9 Неопределенный интегрировал……… 28 Определенный интеграл………………. 38 Вопросы …………………. . . 48 1

Пределы 2

Определение предела последовательности Число a называется пределом числовой если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число N что при всех n>N выполняется неравенство Этот факт записывают вот таким образом 3

Определение предела функции Существует определение на двух языках 1. На языке последовательностей. Число А называется пределом функции в точке если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящейся к последовательность соответствующих значений функции стремится к Метрический смысл предела функции означает что для всех точек достаточно близких к точке соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа 2. На языке Число называется пределом функции в точке если для любого положительного числа найдется положительное число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется равенство Геометрический смысл предела функции в точке. Что для любой окрестности точки А найдется такая точки что для всех из этой окрестности соответствующие значения функции лежат в точки А 4

Односторонние пределы В определении предела функции считается, что х стремится к Любым способом: Оставаясь меньше чем или больше или колеблясь около точки . Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие одностороннего предела. 5

Предел при x->00 Пусть определенна на промежутке . Число называется пределом функции если для любого положительного числа существует такое число что при всех удовлетворяющих неравенству Геометрический смысл этого определения Для что при или . Соответствующие значения функции попадают в окрестность точки A Т. е. точки графика лежат в полосе шириной ограниченной прямыми 6

Теорема Теоремы о пределах Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов Теорема Функция может иметь только один предел при Теорема Предел произведения двух функций равен произведению их пределов Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак предела Следствие Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела 7

Производная 8

Определение производной Производная функции – это скорость протекания процесса(перемещения или химической реакции и т. д. ) Определение такое Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю итак запишем это определение формально (математически) Операции нахождения производной называются дифференцированием 9

Таблица производных 10

Правила дифференцирования 11

Задачи которые приводятся к понятию производной Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM=S до некоторой фиксированной точки O. Это расстояние зависит от истекшего времени t , т. е. S=S(t) Если в некоторый момент времени t точка занимала положение М, то в момент времени точка займет положение M 1 где - приращение расстояния). Таким образом перемещение точки M за время будет Отношение будет выражать среднею скорость движения точки за время Замечание : чем меньше тем точнее вычисления Предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю называется мгновенной скоростью 12

Геометрический и физический смысл Физический смысл Скорость движения точки в момент времени t есть производная пути S который она прошла по времени t Если производная описывает какой либо процесс то значение производной это скорость протекания этого процесса. К примеру это подтверждает геометрический смысл производной. Производная функции в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x. Ведь угловой коэффициент касательной это tg угла наклона кривой 13

Связь между непрерывностью и диффиренцируемостью функции Теорема Если функция деференцируема в некоторой точке, то в ней она непрерывна Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х. следовательно существует предел Отсюда по теореме о связи функции ее предела и бесконечно малой имеем Переходя к пределу при получаем , а это и значит что y=f(x) непрерывна в точке x 14

Продолжение К примеру функция y = |x| не является непрерывной, т. к она непрерывна в точке х=0 не дифференцируема в ней. Действительно в точке х=0 имеем Отсюда следует что не существует т. е. функция y=|x| не имеет производной в точке х=0 не имеет касательной в точке O(0; 0) 15

Производная сложной и обратной функции Если функция имеет производную , а функция Имеет производную в соответствующей точке то сложная функция имеет производную в точке Которая находится по формуле Если функция строго монотонна на интервале И имеет непрерывную производную и имеет не равную нулю производную в точке этого интервала, то обратная функция имеет производную в соответствующей точке определяемой равенством: или 16

Дифферинцирование неявных функций Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x ; y)=0. не разрешимого относительно y. Всякую явно заданную функцию f(x) можно записать уравнением f(x)-y=0, но не наоборот. Если неявная функция задана уравнением F( x; y)=0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при это y как функцию от х и полученное затем уравнение разрешить относительно y. производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y. 17

Производные высших порядков Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка от производной первого порядка. Производная от производной второго порядка если она существует называется производной третьего порядка Производной n-го порядка называется производная от производной n-1 порядка В общем производная n –го порядка обозначается такой формулой 18

Механический смысл производных высших порядков Аналогично производной первого порядка, только здесь рассматривается скорость V. Производная первого порядка показывает скорость движения точки, а производная второго порядка показывает значение производной от производной первого порядка. Действительно Если в момент времени t наша материальная точка движется со скоростью V, то в момент времени скорость будет V + ∆ V. Разница лишь в том что производная второго порядка это производная от производной первого порядка, а производная первого порядка выражает скорость. Производная первого порядка это изменение расстояния, а производная второго порядка это изменение скорости. 19

Производные высших порядков неявно заданной функции Пусть функция y=f(x) задана неявно в виде уравнения f(x; y)=0. Продифференцировав это уравнение по x и разрешив его относительно найдем производную первого порядка. Продифференцировав по первую производную получим вторую производную от неявно заданной функции. В нее войдут Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной выразим y// через x и y 20

Производные высших порядков для функций заданных параметрически Пусть функция y=f(x) задана параметрическими уравнениями, тогда Как известно первая производная находится по формуле Найдем вторую производную Аналогично высшего порядка 21

Дифференциал функции 22

Понятие дифференциала функции Пусть функция y=f(x) имеет в точке x отличную от нуля производную Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать Таким образом приращение функции y представляет сумму двух слагаемых являющихся бесконечно малыми при При этом одно слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с т. к. , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка чем Поэтому первое слагаемое называется главной частью приращения функции 23

Основные теоремы дифференциалов Теорема 1 Дифференциал суммы, произведения и частного определяется следующими формулами Теорема 2 Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента 24

Дифференциалы высших порядков Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется вторым дифференциалом. По определению . Найдем выражения второго дифференциала функции y=f(x). 25

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Роля Пусть функция удовлетворяет следующим условиям 1. Непрерывна на отрезке 2. Деффиренцируема на интервале 3. На концах отрезка принимает равные значения Тогда внутри отрезка существует такая точка в которой производная равна нулю 26

Теорема Лангража Пусть функция удовлетворяет следующим условиям 1. Непрерывна на отрезке 2. Дифференцируема на интервале Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка и в которой выполняется равенство 27

Правило Лапиталя 1. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если предел существует. Таким образом правило Лапиталя используется для раскрытия неопределенностей и 2. Правило Лапиталя можно применять также для раскрытия неопределенностей . Для этого произведение следует записать в виде (или ) и получить неопределенность вида или 28

Правило Лапиталя 3. Если имеется неопределенность или при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет неопределенность вида при этом используется соотношение (полученное на основе свойств логарифма и непрерывности показательной функции). 29

Интервалы монотонности возрастание убывание функции Если производная функции положительна(отрицательна) во всех точках промежутка, то функция монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке Точка называется точкой максимума (минимума) функции - если существует интервал, содержащий точку такой что для всех из этого интервала имеет место неравенство точки максимума и минимума называют точками экстремума 30

Необходимое и достаточное условие экстремума Необходимое условие В точке экстремума функции ее производная либо равна нулю либо не существует. Первое достаточное условие Если в точке функция непрерывна, а производная, а производна при переходе через точку меняет знак, то точка экстремума. Если при переходе через производная не меняет знак, то экстремума нет Второе достаточное условие Если в точке а то является точкой максимума, если , то точка минимума функции 31

Схема исследования графика функции 1. Найти производную 2. Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует 3. Исследовать знак производной справа и слева от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции 4. Найти экстремальные значения функции 32

Интервалы выпуклости функции Определение точек перегиба Точки разделяющие интервалы выпуклости и вогнутости называют точками перегиба Если вторая производная функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке. Если вторая производная меняет знак при переходе через , то точка перегиба функции 33

Схема исследования функции на выпуклость(вогнутость) 1. Найти вторую производную 2. Найти точки в которых вторая производная не существует 3. Исследовать знак производной справа и слева от каждой критической точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точек перегиба 4. Найти значения функции в точках перегиба. 34

Асимптоты. Исследование функции и построение их графиков Определение асимптоты 1. Прямая называется асимптотой графика функции . Если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат А. Вертикальная асимптота Если один из ее пределов равен . Прямая может быть вертикальной асимптотой графика функции в том случае если - точка разрыва или граничная область определения Б. Горизонтальная асимптота Прямая является горизонтальной асимптотой если 35 то - левостороння горизонтальная асимптота.

В. Наклонная асимптота и то является наклонной асимптотой графика функции 36

Общая схема исследования графика функции и построение графиков 1) Найти область определения функции 2) Исследовать функцию на четность – нечетность 3) Найти вертикальные асимптоты 4) Исследовать поведение функции в бесконечности. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты 5) Найти экстремумы и интервалы монотонности 6) Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба функции 7) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно некоторые дополнительные точки, уточняющие график 37

Неопределенный интеграл 38

Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача по данной функции найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает задачу найти функцию F(x) зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию называют первообразной функции. Условие первообразной Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале если Например первообразной для является функция так как очевидно что первообразной будут другие функции Определение Множество всех первообразных для называется неопределенным интегралом и обозначается где. f(x) подынтегральная функция f(x) dx подынтегральное выражение x переменная интегрирования 39

Свойства неопределенного интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной 3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций 40

Продолжение 2 5. Если то и где произвольная функция имеющая непрерывную производную 41

Таблица неопределенных интегралов Пользуясь тем, что интегрирование – процесс обратный дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения формул дифференцирования и использования свойств неопределенного интеграла Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменой (согласно инвариантности формулы интегрирования). 42

Продолжение 43

Основные методы интегрирования 44

Метод непосредственного интегрирования 1. Метод интегрирования – непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким интегралам, называется непосредственным интегрированием При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциал (операции подведения под знак дифференциала) 45

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки ). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае удачной подстановки) Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где функция имеющая непрерывную производную тогда На основании инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой Эта формула называется формулой интегрирования заменой переменой в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к переменой x 46

Метод интегрирования по частям Пусть функции имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство получим Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла Что значительно проще вычисления исходного интеграла Вообще сущность метода интегрирования по частям в том что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким либо образом в виде произведения двух сомножителей и Затем после это используется формула интегрирования по частям 47

Теоремы Корень многочлена – такое значение переменой при котором многочлен обращается в нуль Если корень многочлена то многочлен делится без остатка на - Многочлен степени Теорема (основная теорема) Всякий многочлен имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный Теорема Всякий многочлен можно представить в виде 48

Теоремы Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю. Если два многочлена тождественно равны другу, то коэффициенты одного многочлена тождественно равны коэффициентам другого многочлена Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень 49

Интегрирование рациональных выражений. Рассмотрим способы нахождения интегралов вида где и некоторые многочлены от переменой Простейшие случаи относятся к табличным таким как 1. 2. 3. 4. 50

Общий подход к интегрированию Будем полагать, что дробь правильная т. е степень числителя меньше степени знаменателя Пусть знаменатель допускает разложение на линейные множители Где при положительные целые числа. В этом случае дробь допускает представление в виде суммы простейших дробей Где 51

Метод неопределенных коэффициентов 1. В правой части равенства приведем к общему знаменателю ; в результате получим тождество где многочлен с неопределенными коэффициентами 2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то и равны числители 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему линейных уравнений, из которой определим искомые коэффициенты 52

Интегрирование тригонометрических выражений. Интегралы вида где - рациональная функция допускают рационализацию с помощью универсальной подстановки. где . Тогда 53

Интегрирование тригонометрических выражений вида Для нахождения этих интегралов используются формулы тригонометрии позволяющие преобразовывать произведение в сумму 54

Интегрирование некоторых видов иррациональностей Простейшие интегралы от функций содержащие иррациональности являются табличные интегралы. Либо сводятся к табличным с помощью использования свойств интеграла (или замены переменой) 55

Более сложные случаи Основной подход состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены (так называемая рационализация интеграла) Интегралы вида Где - рациональная функция находится с помощью подстановки 56

Определенный интеграл 57

Понятие определенного интеграла Прежде всего определенный интеграл это предел интегральной суммы. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке 1. С помощью точек и разобьем отрезок на n частичных отрезков 2. В каждом отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней т. е 3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка 4. Составим сумму всех этих произведений 58

Продолжение Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначив через длину наибольшего частичного отрезка 5. Найдем предел интегральной суммы когда , так что Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается Теорема (Коши) Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует. 59

Геометрический и физический смысл определенного интеграла Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура ограничена сверху графиком функции , снизу осью ОХ, сбоку прямыми Называется криволинейной трапецией Найдем площадь этой трапеции Для этого отрезок разобьем на n частичных отрезков В каждом частичном отрезке . Возьмем произвольную точку и вычислим значение функции в ней. Умножим значение функции на приращение соответствующего частичного отрезка Произведение есть площадь прямоугольника с основанием и высотой 60

Вычисление определенного интеграла 61

Формула Ньютона – Лейбница Теорема Если функция непрерывна на отрезке и F(x) какая либо первообразная на и , то имеет место формула 62

Формула замены переменой в определенном интеграле Теорема Если: 1) Функция и ее производная непрерывны при 2) Множеством значений функции при является отрезок 3) То 63

Интегрирование по частям в определенном интеграле Теорема Если функция имеют непрерывные производные на отрезке то имеет место формула 64

Геометрические приложения определенного интеграла Площади кривых фигур 1. Если функция неотрицательна на отрезке , то площадь под кривой на (площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой и прямыми ). Численно равна значению определенного интеграла 2. Если функция - неположительная на отрезке , то площадь над кривой равна определенному интегралу от на отрезке взятому со знаком минус 65

3. Если на отрезке то площадь фигуры заключенной между кривыми на этом отрезке определяется формулой 4. Если верхняя ограничивающая линия фигуры задана параметрическим уравнением где , то площадь фигуры вычисляется по формуле 66

Применительно к фигурам 1. Длина дуги кривой заключенной между точками с абсциссами определяется по формуле 2. Площадь поверхности вращения Площадь поверхности образованной вращением вокруг оси кривой заключенной между двумя абсциссами определяется по формуле 67

3. Объем тел вращения Если функция знакопостоянна на отрезке то тела образованного вращением вокруг оси фигуры ограниченной линиями вычисляется по формуле Аналогично объем тела, образованного при вращении вокруг оси плоской фигуры ограниченной линиями Вычисляется по формуле 68

Использование определенного интеграла в экономике Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции произведенной за промежуток времени вычисляется по следующей формуле: 69

Формула прямоугольников выглядит таким образом Почему на два я объясню. Геометрический смысл определенного интеграла выглядит таким образом 1. Мы берем разность между началом и концом делим на количество наших разбиений 2. Затем умножаем полученное значение в первом действии на интеграл от суммы и разделенное на два (т. к нам нужна средняя точка) 70

Продолжение Запишем это более формально Разобьем основание трапеции т. е. отрезок на n равных частей длины (шаг разбиения) Можно записать что где В середине каждого такого отрезка построим ординату приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью 71

Функции нескольких переменных 72

Основные понятия Если каждому набору - переменных из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменой , то говорят что задана функция нескольких переменных График функции двух переменных есть множество точек трехмерного пространства и представляет как правило некоторую поверхность Линией уровня функции двух переменных множество точек на плоскости, таких что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называют уровнем. 73

Число называется пределом функции при если для любого найдется зависящее от такое что для всех отстоящих от точки не более чем на выполняется неравенство 74

Частные производные, градиент дифференциал. Частными производными по и по называются пределы вида Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение независимых переменных. Производной по направлению называется предел 75

Производная по направлению может быть выражена через частные производные по формуле Где задает направление (с углами ) и образуемыми с осями координат Градиентом называется вектор 76

Примеры 77

Вычисление пределов 78

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида. Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на x 3 (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим 79

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида –. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение): В результате получилась неопределенность типа. Разделим числитель и знаменатель полученного выражения на x. Тогда получим 80

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида. Разложим данное выражение на множители, а затем сократим дробь на x– 1 0 (x 2, но x 2): 81

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида. Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми: 82

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида. При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин. Две бесконечно малые величины a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми величинами в окрестности точки x 0, если Метод эквивалентных бесконечно малых величин заключается в том, что предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения двух эквивалентных бесконечно малых величин, т. е. если и , то Используя известные эквивалентности а также учитывая, что , получим 83

Вычислить предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида стоящее в скобках, следующим образом . Преобразуем выражение, Тогда исходный предел можно преобразовать так: Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен В результате получаем 84

Наибольшее и наименьшее значение функции Исследовать наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]. Находим производную: Отсюда находим критические точки: x 1=2, x 2=4. Однако в заданный интервал попадает только одна точка: x 1=2 [0; 3]. Далее находим значение функции в найденной критической точке и на границах отрезка: y(2) = 0, y(0) = 4, y(3) = e– 3=1/e 3. Итак, наибольшее значение рассматриваемая функция принимает на левом конце заданного отрезка: yнаиб = y(0) = 4, а наименьшее значение – в точке минимума: y наим= y(2) = 0. 85

Построение графиков методами дифференциального исчисления Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график: а) Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки x=1, т. е. областью определения данной функции D = (– ; 1) (1; + ). Заметим также, что функция может принимать только неотрицательные значения, т. е. y 0. б) Данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т. е. это функция общего вида. в) При x=– 1 функция будет равна нулю: y(– 1)=0, т. е. график функции пересекает ось Ox в точке A(– 1; 0). При x=0 функция принимает значение y(0)=1, т. е. график функции пересекает ось Oy в точке B(0; 1). 86

г) Точка x=1 является точкой разрыва 2 -го рода, причем Следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой данной функции. д) Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где Таким образом, рассматриваемая функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y=1. II. Исследуем функцию на экстремум и определим участки ее монотонности. Для этого вычислим производную: 87

III. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка: Определим критические точки 2 -го порядка, т. е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это будут точки x 1=– 2, x 2=1. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x=– 2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется точка перегиба: y(– 2)=1/9. На интервале (– ; – 2) функция выпукла, на интервале (– 2; + ) – вогнута. IV. Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис. ). 88

89

Определим критические точки функции, т. е. точки в которых производная равна нулю или не существует. Это будут точки x 1=– 1, x 2=1. Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов: Поскольку при переходе через критическую точку x=– 1 производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: y(– 1)=0. В точке x=1 производная также меняет знак, однако в этой точке нет экстремума, т. к. эта точка является точкой разрыва. На интервалах (– ; – 1) и (1; + ) функция убывает, на интервале (– 1; 1) – возрастает. 90

Вычисление интегралов 91

Вычислить неопределенный интеграл: При вычислении данного интеграла, сделаем подстановку t=5– 9 lnx, в результате получим 92

Вычислить неопределенный интеграл: При вычислении данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям 93

Вычислить неопределенный интеграл: При вычислении данного интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим 94

Разложим подынтегральную функцию, т. е. правильную рациональную дробь, на сумму простейших дробей: Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей: Чтобы найти неопределенные коэффициенты A, B, C, придадим переменной x три каких-либо значения (обычно выбирают такие значения, чтобы получались нулевые значения в правой части): 95

Таким образом, Далее, вычисляем исходный интеграл 96

Определенные интегралы 97

Вычислить определенные интегралы: При вычислении данного интеграла, преобразуем подынтегральное выражение 98

Вычислить определенный интеграл При вычислении данного интеграла применим метод замены переменной (обратим внимание, что в определенных интегралах, кроме подынтегрального выражения, преобразуются также и пределы интегрирования): 99

При вычислении данного интеграла применим метод интегрирования по частям: 100

Что такое интеграл? Что такое дифференциал? Ответьте в каком отношении находятся дифференцирование и интегрирование? В чем механический смысл производной? В чем геометрический смысл интеграла ? 101