Предел и непрерывность функции Бесконечно малая и

Предел и непрерывность функции.

Бесконечно малая и бесконечно большие величины. • Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется так, что какое бы малое положительное число ℰ ни взято , ∣α∣� становится и при дальнейшем изменении величины α остается меньше ℰ. α→ 0 или -1 0 1

• Переменная величина у называется бесконечно большой, если она изменяется так, что какое бы большое положительное число N ни взято , ∣у∣� становится и при дальнейшем изменении величины у остается больше N. у→∞ или 0

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величины. 1) если y 0 , то 2) если , то x

пример: 1) 2) , тогда

Предел переменной Число 3 называется пределом переменной х: или

• Постоянная а называется пределом переменной х, если разность между ними есть бесконечно малая величина α� т. е , , если или

Предел функции

• Определение «на языке последовательности» Число а называется пределом функции f(x) в точке х=х0, если для всех значений х, достаточно близких к х0 (х→х0) и отличных от х0 (х≠х0), значение функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа а (f(x)→а), т. е или при

Односторонние пределы. Пределы функций при х→х0 - и х→х0+ Определение «на языке последовательности» : если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, меньшие х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0 слева (или левым пределом) и пишут

Определение «на языке последовательности» : если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, большие чем х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0 справа (или правым пределом) и пишут

Пример. у ← 1 0 → -1 х

Связь между односторонними пределами. Теорема. Функция f(x) имеет в точке х0 предел а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам:

Доказать, что функция не имеет предела. в точке х=0 не существует у ← → 1 0 x

Доказать, что функция имеет предел. в точке х=0 существует y 0 → ← x

Пределы функций при х→∞, х→ - ∞ и х→+∞ Определение «на языке последовательности» : число а называется пределом функции f(x) при х→∞, если для всех значений х бесконечно большой последовательности значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от а (f(x) →а) и пишут

Определение «на языке последовательности» : число а называется пределом функции f(x) при х→+∞ (х→-∞), если для всех значений х бесконечно большой последовательности, элементы которой положительны (отрицательны), значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа а (f(x) →а) и пишут

Справедлива теорема при х→∞ имеет предел. Доказать, что функция существует у 0 ← → x

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. • Функция α=α(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х0 (или при х→х0), если Аналогично определяются бесконечно малые функции при х→х0 - , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞. Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малая переменная величина.

Пример: • 1) функция есть бесконечно малая при х→ 1, т. к • 2) функция есть бесконечно малая при х→∞, т. к g(x) y 0 0 1 x x

• Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х0 (или при х→х0), если Аналогично определяются бесконечно большие функции при х→х0 - , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞. Если f(x) стремится к бесконечности при х→х0 и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

Замечание. Функция y=f(x) при х→х0 или при х→∞ может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. • Пример. Функция y=sinx, определенная на всем числовом интервале, при х→∞ не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности.

Основные теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах 7) Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки х0, за исключением может быть самой точки х0, и функции f(x) и h(x) имеют в точке х0 предел, равный а, т. е. Пусть, кроме того, выполняется неравенство: Тогда

I. Вычисление пределов функций. 1) Вычислить

2) Вычислить убедимся, что предел знаменателя отличен от 0: тогда применима теорема о пределе дроби:

II. Вычисление пределов функций. Предел знаменателя равен 0. 3) Вычислить ⇒ (3 х-12) есть бесконечно малая величина, а обратная ей величина есть бесконечно большая.

4) Вычислить неопределённость

5) Вычислить

III. Вычисление пределов функций. Предел функции при х→∞. 6) Вычислить (4 х+3) при х→∞ есть бесконечно большая величина,

7) Вычислить

Для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на старшую степень х.