Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции

Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке ε окрестность точки А y А 0 х0 х δ окрестность точки x 0 Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε.

Односторонние пределы Пример, когда есть предел слева и когда есть предел справа. В определении предела функции предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0), большим, чем x 0 (справа от x 0), или колеблясь около точки x 0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. y А 2 А 1=А 2=А А 1 0 Очевидно, если существует х0 х то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке Число А называют пределом функции при Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми: у=А+ε, у=А-ε. . , если y А 0 М х

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства: при этом: тогда: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при М С x О В А Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA, S 2 - площадь сектора OMА, S 3 - площадь треугольника OСА, Из рисунка видно, что S 1< S 2 < S 3

Первый замечательный предел М С x О В А

Первый замечательный предел Формула справедлива также при x < 0 Следствия:

Первый замечательный предел

Рассмотрим последовательность числовую где a 1=2, a 2=2. 25, a 3=2. 37 … Можно предположить, последовательность возрастающей. что эта будет

Воспользуемся формулой где m – любое действительное число. В нашем случае:

Видно, что с ростом n увеличивается число положительных слагаемых, которых всего будет n+1, и растет величина каждого слагаемого, т. е. Это значит, что данная последовательность возрастает. Теперь покажем, ограниченной. что она является Поскольку каждая скобка меньше единицы, отбрасываем эти скобки и получаем неравенство:

Теперь каждую дробь в правой части заменяем большей дробью с двойкой в знаменателе: Получаем:

Сумма есть сумма n-1 членов геометрической прогрессии, где первый член и знаменател ь По формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем:

Т. к. Sn-1<1, то Действительно, последовательность ограниченной. данная является

Согласно признаку существования предела, монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Числом е или вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности

е – число Эйлера е=2, 718281… Можно показать, что функция при где х пробегает все значения, а не только целые, тоже имеет предел, равный е:

Пусть , тог да

1 Вычислить

2 Вычислить